Beweisen Sie es: sqrt ((1-cosx) / (1 + cosx)) + sqrt ((1 + cosx) / (1-cosx)) = 2 / abs (sinx)?

Antworten:

Beweis unten

unter Verwendung von Konjugaten und trigonometrischen Versionen des Satzes von Pythagoras

Erläuterung:

Teil 1

#sqrt ((1-cosx) / (1 + cosx)) #

#color (weiß) ("XXX") = sqrt (1-cosx) / sqrt (1 + cosx) #

#color (weiß) ("XXX") = sqrt ((1-cosx)) / sqrt (1 + cosx) * sqrt (1-cosx) / sqrt (1-cosx) #

#color (weiß) ("XXX") = (1-cosx) / sqrt (1-cos ^ 2x) #

Teil 2

Ähnlich

#sqrt ((1 + cosx) / (1-cosx) #

#color (weiß) ("XXX") = (1 + cosx) / sqrt (1-cos ^ 2x) #

Teil 3: Kombination der Begriffe

#sqrt ((1-cosx) / (1 + cosx)) + sqrt ((1 + cosx) / (1-cosx) #

#color (weiß) ("XXX") = (1-cosx) / sqrt (1-cos ^ 2x) + (1 + cosx) / sqrt (1-cos ^ 2x) #

#color (weiß) ("XXX") = 2 / sqrt (1-cos ^ 2x) #

#Farbe (weiß) ("XXXXXX") #und seit # sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 # (basierend auf dem Satz des Pythagoras)

#color (weiß) ("XXXXXXXXX") sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x #

#color (weiß) ("XXXXXXXXX") sqrt (1-cos ^ 2x) = abs (sinx) #

#sqrt ((1-cosx) / (1 + cosx)) + sqrt ((1 + cosx) / (1-cosx)) = 2 / sqrt (1-cos ^ 2x) = 2 / abs (sinx) #

Wie beweist man (1 + sinx-cosx) / (1 + cosx + sinx) = tan (x / 2)?

Siehe unten. LHS = (1-cosx + sinx) / (1 + cosx + sinx) = (2sin ^ 2 (x / 2) + 2sin (x / 2) * cos (x / 2)) / (2cos ^ 2 (x / 2) + 2sin (x / 2) * cos (x / 2) = (2sin (x / 2) [sin (x / 2) + cos (x / 2)]) / (2cos (x / 2) * [ sin (x / 2) + cos (x / 2)]) = tan (x / 2) = RHS

Die Zahlen x, yz erfüllen abs (x + 2) + abs (y + 3) + abs (z-5) = 1 und beweisen, dass abs (x + y + z) <= 1?

Bitte sehen Sie Erklärung. Erinnern Sie sich daran, | (a + b) | le | a | + | b | ............ (Stern). :. x + y + z | = | (x + 2) + (y + 3) + (z-5) |, le | (x + 2) | + | (y + 3) | + | (z-5 ) | .... [weil (Stern)], = 1 ........... [weil "gegeben" ". d.h. | (x + y + z) | le 1.

Beweisen Sie, dass die Zahl sqrt (1 + sqrt (2 + ... + sqrt (n))) für keine natürliche Zahl n größer als 1 ist.

Siehe Erklärung ...Angenommen, sqrt (1 + sqrt (2 + ... + sqrt (n))) ist rational. Dann muss das Quadrat rational sein, dh: 1 + sqrt (2 + ... + sqrt (n)) und damit auch : sqrt (2 + sqrt (3 + ... + sqrt (n))) Wir können wiederholt quadrieren und subtrahieren, um festzustellen, dass Folgendes rational sein muss: {(sqrt (n-1 + sqrt (n))), ( sqrt (n)):} Daher ist n = k ^ 2 für eine positive ganze Zahl k> 1 und: sqrt (n-1 + sqrt (n)) = sqrt (k ^ 2 + k-1) Beachten Sie Folgendes: k ^ 2 <k ^ 2 + k-1 <k ^ 2 + 2k + 1 = (k + 1) ^ 2 Somit ist k ^ 2 + k-1 auch nicht das Quadrat einer ganzen Zahl und sqrt (k ^ 2 +