Beweisen Sie es: sqrt ((1-cosx) / (1 + cosx)) + sqrt ((1 + cosx) / (1-cosx)) = 2 / abs (sinx)?

Antworten:

Beweis unten

unter Verwendung von Konjugaten und trigonometrischen Versionen des Satzes von Pythagoras

Erläuterung:

Teil 1

#sqrt ((1-cosx) / (1 + cosx)) #

#color (weiß) ("XXX") = sqrt (1-cosx) / sqrt (1 + cosx) #

#color (weiß) ("XXX") = sqrt ((1-cosx)) / sqrt (1 + cosx) * sqrt (1-cosx) / sqrt (1-cosx) #

#color (weiß) ("XXX") = (1-cosx) / sqrt (1-cos ^ 2x) #

Teil 2

Ähnlich

#sqrt ((1 + cosx) / (1-cosx) #

#color (weiß) ("XXX") = (1 + cosx) / sqrt (1-cos ^ 2x) #

Teil 3: Kombination der Begriffe

#sqrt ((1-cosx) / (1 + cosx)) + sqrt ((1 + cosx) / (1-cosx) #

#color (weiß) ("XXX") = (1-cosx) / sqrt (1-cos ^ 2x) + (1 + cosx) / sqrt (1-cos ^ 2x) #

#color (weiß) ("XXX") = 2 / sqrt (1-cos ^ 2x) #

#Farbe (weiß) ("XXXXXX") #und seit # sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 # (basierend auf dem Satz des Pythagoras)

#color (weiß) ("XXXXXXXXX") sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x #

#color (weiß) ("XXXXXXXXX") sqrt (1-cos ^ 2x) = abs (sinx) #

#sqrt ((1-cosx) / (1 + cosx)) + sqrt ((1 + cosx) / (1-cosx)) = 2 / sqrt (1-cos ^ 2x) = 2 / abs (sinx) #