Angenommen, es gab eine Basis und eine bestimmte Anzahl von Dimensionen für den Unterraum W in RR ^ 4. Warum ist die Anzahl der Dimensionen 2?

Antworten:

4 Dimensionen minus 2 Nebenbedingungen = 2 Dimensionen

Erläuterung:

Die 3. und 4. Koordinate sind die einzigen unabhängigen. Die ersten beiden können in Form der letzten beiden ausgedrückt werden.

Antworten:

Die Dimension eines Unterraums wird durch seine Basis bestimmt und nicht durch die Dimension eines Vektorraums, in dem er sich befindet.

Erläuterung:

Die Dimension eines Vektorraums wird durch die Anzahl der Vektoren in einer Basis dieses Raums definiert (für unendlich dimensionale Räume wird sie durch die Kardinalität einer Basis definiert). Beachten Sie, dass diese Definition konsistent ist, da wir beweisen können, dass jede Basis eines Vektorraums dieselbe Anzahl von Vektoren wie jede andere Basis hat.

Im Falle von # RR ^ n # Wir wissen das #dim (RR ^ n) = n # wie

#{(1,0,0,…0),(0,1,0,…,0),…,(0,0,…,0,1)}#

ist eine Basis für # RR ^ n # und hat # n # Elemente.

Im Falle von #W = s, t in RR # Wir können jedes Element in schreiben # W # wie #svec (u) + tvec (v) # woher #vec (u) = (4,1,0,1) # und #vec (v) = (-1,0,1,0) #.

Daraus haben wir das # {vec (u), vec (v)} # ist ein überspannungsset für # W #. weil #vec (u) # und #vec (v) # sind offensichtlich keine skalaren Vielfachen (beachten Sie die Positionen der #0#s), das heißt das # {vec (u), vec (v)} # ist eine linear unabhängige Spannweite für # W #das ist eine Basis. weil # W # hat eine Basis mit #2# Elemente sagen wir das #dim (W) = 2 #.

Beachten Sie, dass die Dimension eines Vektorraums nicht davon abhängt, ob seine Vektoren in anderen Vektorräumen größerer Dimension vorhanden sind. Die einzige Beziehung ist das wenn # W # ist ein Unterraum von # V # dann #dim (W) <= dim (V) # und #dim (W) = dim (V) <=> W = V #