Was ist die Projektion von (i -2j + 3k) auf (3i + 2j - 3k)?

Antworten:

#proj_vec v vu u = (-15 / 11i-10 / 11j + 15 / 11k) #

Erläuterung:

Um es einfacher zu machen, auf sie zu verweisen, rufen wir den ersten Vektor auf #vec u # und der zweite #vec v #. Wir wollen das Projekt von #vec u # auf zu #vec v #:

#proj_vec v vu u = ((vec u * vec v) / || vec v || ^ 2) * vec v #

In Worten also die Projektion eines Vektors #vec u # auf den Vektor #vec v # ist das Punktprodukt der beiden Vektoren, dividiert durch das Quadrat der Länge von #vec v # mal vektor #vec v #. Beachten Sie, dass das Stück in den Klammern ein Skalar ist, der uns sagt, wie weit in der Richtung von #vec v # die Projektion reicht

Zuerst finden wir die Länge von #vec v #:

# || vec v || = sqrt (3 ^ 2 + 2 ^ 2 + (- 3) ^ 2) = sqrt22 #

Beachten Sie jedoch, dass das, was wir eigentlich wollen, im Ausdruck ist # || vec v || ^ 2 #Wenn wir also beide Seiten in einen Viereck stellen, bekommen wir einfach #22#.

Jetzt brauchen wir das Punktprodukt von #vec u # und #vec v #:

#vec u * vec v = (1xx3 + (- 2) xx2 + 3xx (-3)) = (3-4-9) = (-10) #

(Um das Punktprodukt zu finden, multiplizieren wir die Koeffizienten von #i, j und k # und füge sie hinzu)

Jetzt haben wir alles was wir brauchen:

#proj_vec v vu u = ((vec u * vec v) / || vec v || ^ 2) * vec v = (-10/22) (3i + 2j - 3k) #

# = (-30 / 22i-20 / 22j + 30 / 22k) = (-15 / 11i-10 / 11j + 15 / 11k) #