Was sind die Lösungen für (z-1) ^ 3 = 8i?

Antworten:

#z in {sqrt (3) + 1 + i, -sqrt (3) + 1 + i, 1-2i} #

Erläuterung:

Für dieses Problem müssen wir wissen, wie Sie das finden können # n ^ "th" # Wurzeln einer komplexen Zahl. Dazu verwenden wir die Identität

# e ^ (itheta) = cos (Theta) + isin (Theta) #

Aufgrund dieser Identität können wir jede komplexe Zahl als darstellen

# a + bi = Re ^ (itheta) # woher #R = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # und #theta = arctan (b / a) #

Jetzt gehen wir die Schritte durch, um das zu finden # 3 ^ "rd" # Wurzeln einer komplexen Zahl # a + bi #. Die Schritte zum Finden der # n ^ "th" # Wurzeln sind ähnlich.

Gegeben # a + bi = Re ^ (itheta) # Wir suchen nach allen komplexen Zahlen # z # so dass

# z ^ 3 = Re ^ (itheta) #

Wie # z # ist eine komplexe Zahl, die existiert # R_0 # und # theta_0 # so dass

#z = R_0e ^ (itheta_0) #

Dann

# z ^ 3 = (R_0e ^ (itheta_0)) ^ 3 = R_0 ^ 3e ^ (3itheta_0) = Re ^ (itheta) #

Davon haben wir sofort # R_0 = R ^ (1/3) #. Wir können auch die Exponenten von # e #, wobei zu beachten ist, dass Sinus und Cosinus periodisch sind # 2pi #dann von der ursprünglichen Identität, # e ^ (itheta) # wird auch sein Dann haben wir

# 3itheta_0 = i (Theta + 2pik) # woher #k in ZZ #

# => theta_0 = (theta + 2pik) / 3 # woher #k in ZZ #

Aber als ob wir ständig hinzufügen würden # 2pi # Immer wieder erhalten wir dieselben Werte, wir können die redundanten Werte ignorieren, indem Sie die Einschränkung hinzufügen # theta_0 in 0, 2pi) #, das ist, #k in {0, 1, 2} #

Alles in allem bekommen wir die Lösung

#z in {R ^ (1/3) e ^ (Iheta / 3), R ^ (1/3) e ^ (i ((theta + 2pi)) / 3), R ^ (1/3) e ^ (i (Theta + 4pi) / 3)} #

Wir können dies zurück in konvertieren # a + bi # wenn gewünscht mit der Identität

# e ^ (itheta) = cos (Theta) + isin (Theta) #

Anwenden des obigen auf das vorliegende Problem:

# (z-1) ^ 3 = 8i #

# => z-1 = 2i ^ (1/3) #

# => z = 2i ^ (1/3) + 1 #

Mit Hilfe des obigen Prozesses können wir das finden # 3 ^ "rd" # Wurzeln von #ich#:

#i = e ^ (ipi / 2) => i ^ (1/3) in {e ^ (ipi / 6), e ^ (i (5pi) / 6), e ^ (i (3pi) / 2) } #

Bewirbt sich # e ^ (itheta) = cos (Theta) + isin (Theta) # wir haben

# i ^ (1/3) in {sqrt (3) / 2 + i / 2, -sqrt (3) / 2 + i / 2, -i} #

Schließlich setzen wir in diesen Werten für ein #z = 2i ^ (1/3) + 1 #

#z in {2 (sqrt (3) / 2 + i / 2) +1, 2 (-sqrt (3) / 2 + i / 2) +1, 2 (-i) +1} #

# = {sqrt (3) + 1 + i, -sqrt (3) + 1 + i, 1-2i} #