Antworten:
Sie haben zwei Lösungen:
# x = -4- sqrt (47/3) #, und
# x = -4 + sqrt (47/3) #
Erläuterung:
Beachten Sie zuerst das # x # kann nicht Null sein, sonst # 1 / (3x) # wäre eine Division durch Null. Also, vorausgesetzt #x ne0 #, können wir die Gleichung umschreiben als
# (3x) / (3x) -8 = 1 / (3x) + x (3x) / (3x) #
# iff #
# (- 24x) / (3x) = 1 / (3x) + (3x ^ 2) / (3x) #
mit dem Vorteil, dass nun alle Begriffe den gleichen Nenner haben und wir die Brüche zusammenfassen können:
# (- 24x) / (3x) = (1 + 3x ^ 2) / (3x) #
Da haben wir angenommen #x ne 0 #Wir können behaupten, dass die beiden Brüche genau dann gleich sind, wenn die Zähler gleich sind: Die Gleichung entspricht also
# -24x = 1 + 3x ^ 2 #
was führt zu der quadratischen Gleichung
# 3x ^ 2 + 24x + 1 = 0 #.
Um dies zu lösen, können wir die klassische Formel verwenden
# frac {-b pm sqrt (b ^ 2-4ac)} {2a} #
woher #ein#, # b # und # c # die Rolle von spielen # ax ^ 2 + bx + c = 0 #.
Die Lösungsformel wird also
# frac {-24 pm sqrt (24 ^ 2-4 * 3 * 1)} {2 * 3} #
#=#
# frac {-24 pm sqrt (576-12)} {6} #
#=#
# frac {-24 pm sqrt (564)} {6} #
Schon seit #564=36* 47/3#, wir können die Quadratwurzel vereinfachen und erhalten
# frac {-24 pm 6sqrt (47/3)} {6} #
und schließlich können wir den ganzen Ausdruck vereinfachen:
# frac {-cancel (6) * 4 pm cancel (6) sqrt (47/3)} {cancel (6)} #
in
# -4 pm sqrt (47/3) #
