Wasser wird aus einem kegelförmigen Behälter mit einem Durchmesser von 10 Fuß und einer Tiefe von 10 Fuß mit einer konstanten Geschwindigkeit von 3 Fuß3 / min abgelassen. Wie schnell fällt der Wasserstand ab, wenn die Wassertiefe 6 Fuß beträgt?
Das Verhältnis des Radius r der oberen Wasseroberfläche zur Wassertiefe w ist eine Konstante, die von den Gesamtabmessungen des Kegels abhängt. R / w = 5/10 rarr r = w / 2 Das Volumen des Kegels von Wasser ergibt sich aus der Formel V (w, r) = pi / 3 r ^ 2w oder in Bezug auf gerade w für die gegebene Situation V (w) = pi / (12) w ^ 3 (dV) / (dw) = pi / 4w ^ 2 rarr (dw) / (dV) = 4 / (piw ^ 2) Wir erfahren, dass (dV) / (dt) = -3 (cu.ft./min.) (dw) / ( dt) = (dw) / (dV) * (dV) / (dt) = 4 / (piw ^ 2) * (- 3) = (- 12) / (piw ^ 2) Wenn w = 6 ist, ist die Wassertiefe Ändern mit einer Rate von (dw) / (dt)
Wasser, das auf einen Boden läuft, bildet einen kreisförmigen Pool. Der Beckenradius vergrößert sich mit einer Geschwindigkeit von 4 cm / min. Wie schnell vergrößert sich die Fläche des Beckens bei einem Radius von 5 cm?
40pi "cm" ^ 2 "/ min" Zuerst sollten wir mit einer Gleichung beginnen, die wir kennen und die die Fläche eines Kreises, den Pool und seinen Radius betreffen: A = pir ^ 2 Wir möchten jedoch sehen, wie schnell die Fläche von ist Der Pool nimmt zu, was sich wie eine Rate anhört ... was sich wie eine Ableitung anhört. Wenn wir die Ableitung von A = pir ^ 2 in Bezug auf die Zeit t nehmen, sehen wir Folgendes: (dA) / dt = pi * 2r * (dr) / dt (Vergessen Sie nicht, dass die Kettenregel rechts gilt Handseite, mit r ^ 2 - dies ähnelt der impliziten Differenzierung.) Wir wollen also (
Du wirfst einen Stein in einen Teich und beobachtest, wie sich die kreisförmige Welle entlang der Oberfläche in alle Richtungen ausbreitet. Wenn sich die Welligkeit mit 1,4 m / s bewegt, wie hoch ist die ungefähre Geschwindigkeit, mit der der Umfang zunimmt, wenn der Durchmesser der kreisförmigen Welligkeit 6 m beträgt?
2,8 pi m / s Es ist givendr / dt = 1,4. C = 2 & pgr; r dC / dt = 2 & pgr; (dr) / dt = 2,8 & mgr; m / s