Bitte helfen Ich bin mir nicht sicher, wie man das schnell macht, ohne alles zu multiplizieren?

Antworten:

Die Antwort auf (ich) ist #240#.

Die Antwort auf (ii) ist #200#.

Erläuterung:

Wir können dies tun, indem wir das unten gezeigte Pascal-Dreieck verwenden.

(ich)

Da ist der Exponent #6#, müssen wir die sechste Reihe in dem Dreieck verwenden, das enthält #Farbe (lila) (1, 6, 15, 20, 15, 6) # und #color (lila) 1 #. Grundsätzlich werden wir verwenden #Farbe (blau) 1 # als erster Begriff und #Farbe (rot) (2x) # als die zweite. Dann können wir die folgende Gleichung erstellen. Der Exponent des ersten Terms erhöht sich um #1# Jedes Mal nimmt der Exponent des zweiten Terms um #1# mit jedem Begriff aus dem Dreieck.

# (Farbe (lila) 1 * Farbe (blau) (1 ^ 0) * Farbe (rot) ((2x) ^ 6)) + (Farbe (lila) 6 * Farbe (blau) (1 ^ 1) * Farbe (rot) ((2x) ^ 5)) + (Farbe (lila) 15 * Farbe (blau) (1 ^ 2) * Farbe (rot) ((2x) ^ 4)) + (Farbe (lila) 20 * Farbe (blau) (1 ^ 3) * Farbe (rot) ((2x) ^ 3)) + (Farbe (lila) 15 * Farbe (blau) (1 ^ 4) * Farbe (rot) ((2x) ^ 2)) + (Farbe (lila) 6 * Farbe (blau) (1 ^ 5) * Farbe (rot) ((2x) ^ 1)) + (Farbe (lila) 1 * Farbe (blau) (1 ^ 6) * Farbe (rot) ((2x) ^ 0)) #

Dann können wir es vereinfachen.

# 64x ^ 6 + 192x ^ 5 + 240x ^ 4 + 160x ^ 3 + 60x ^ 2 + 12x + 1 #

Daher ist der Koeffizient von # x ^ 4 # ist #240#.

(ii)

Wir kennen bereits die Erweiterung von # (1 + 2x) ^ 6 #. Nun können wir die beiden Ausdrücke miteinander multiplizieren.

#Farbe (braun) (1-x (1/4)) * Farbe (orange) (64x ^ 6 + 192x ^ 5 + 240x ^ 4 + 160x ^ 3 + 60x ^ 2 + 12x + 1) #

Der Koeffizient von # x # im # 1-x (1/4) # ist #1#. Wir wissen also, dass es die Werte der Exponenten im anderen Ausdruck um erhöht #1#. Weil wir den Koeffizienten von brauchen # x ^ 4 #Wir müssen uns nur vermehren # 160x ^ 3 # durch # 1-x (1/4) #.

# 160x ^ 3-40x ^ 4 #

Nun müssen wir es hinzufügen # 240x ^ 4 #. Dies ist ein Teil der Lösung von # 240x ^ 4 * (1-x (1/4)) #aufgrund der Multiplikation mit #1#. Es ist wichtig, weil es auch einen Exponenten von hat #4#.

# -40x ^ 4 + 240x ^ 4 = 200x ^ 4 #

Daher ist der Koeffizient #200#.

Antworten:

ich. # 240x ^ 4 #

ii. # 200x ^ 4 #

Erläuterung:

Die binomische Erweiterung für # (a + bx) ^ c # kann dargestellt werden als:

#sum_ (n = 0) ^ c (c!) / (n! (c-n)!) a ^ (c-n) (bx) ^ n #

Für Teil 1 brauchen wir nur wann # n = 4 #:

# (6!) / (4! (6-4)!) 1 ^ (6-4) (2x) ^ 4 #

# 720 / (24 (2)) 16x ^ 4 #

# 720/48 16x ^ 4 #

# 15 * 16x ^ 4 #

# 240x ^ 4 #

Für Teil 2 brauchen wir auch die # x ^ 3 # Begriff wegen der # x / 4 #

# (6!) / (3! (6-3)!) 1 ^ (6-3) (2x) ^ 3 #

# 720 / (3! (3)!) 8x ^ 3 #

# 720 / (6 ^ 2) 8x ^ 3 #

# 720/36 8x ^ 3 #

# 20 * 8x ^ 3 #

# 160x ^ 3 #

# 160x ^ 3 (-x / 4) = - 40x ^ 4 #

# -40x ^ 4 + 240x ^ 4 = 200x ^ 4 #