Wie integrieren Sie int 1 / sqrt (-e ^ (2x) -20e ^ x-101) dx mit trigonometrischer Substitution?

Antworten:

# -sqrt (101) / 101i * ln ((10 ((ex + 10) / (sq (e) (2x) + 20e ^ x + 101) + 1)) + 1-sqrt101) / (10 ((e ^ x + 10) / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101) +1)) + 1 + sqrt101)) + C #

Erläuterung:

Die Lösung ist etwas langwierig !!!

Aus dem Gegebenen #int 1 / sqrt (-e ^ (2x) -20e ^ x-101) * dx #

#int 1 / ((sqrt (-1) * sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101)) * dx #

Beachten Sie das # i = sqrt (-1) # die imaginäre Zahl

Legen Sie diese komplexe Zahl für eine Weile beiseite und fahren Sie mit dem Integral fort

#int 1 / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101)) * dx #

indem Sie das Quadrat ausfüllen und einige Gruppierungen vornehmen:

#int 1 / (sqrt ((e ^ x) ^ 2 + 20e ^ x + 100-100 + 101)) * dx #

#int 1 / (sqrt (((e ^ x) ^ 2 + 20e ^ x + 100) -100 + 101)) * dx #

#int 1 / (sq (((e ^ x + 10) ^ 2-100 + 101))) * dx #

#int 1 / (sq (((e ^ x + 10) ^ 2 + 1))) * dx #

Erste trigonometrische Substitution: ##

Der spitze Winkel # w # mit gegenüberliegender Seite # = e ^ x + 10 # und angrenzende Seite #=1# mit hypotenuse =#sqrt ((e ^ x + 10) ^ 2 + 1) #

Lassen # e ^ x + 10 = tan w #

# e ^ x dx = sec ^ 2 w # # dw #

# dx = (sec ^ 2w * dw) / e ^ x #

und dann

# dx = (sec ^ 2w * dw) / tan (w-10) #

Das Integral wird

#int 1 / sqrt (tan ^ 2w + 1) * (sec ^ 2w * dw) / (tan w-10) #

#int 1 / sqrt (sec ^ 2w) * (sec ^ 2w * dw) / (tan w-10) #

#int 1 / sec w * (sec ^ 2w * dw) / (tan w-10) #

#int (secw * dw) / (tan w-10) #

von der Trigonometrie #sec w = 1 / cos w # und #tan w = sin w / cos w #

Das Integral wird

#int (1 / cos w * dw) / (sin w / cos w-10) # und

#int (dw) / (sin w-10 cos w) #

Zweite trigonometrische Substitution:

Lassen # w = 2 tan ^ -1 z #

# dw = 2 * dz / (1 + z ^ 2) #

und auch # z = tan (w / 2) #

Das rechtwinklige Dreieck: Der spitze Winkel # w / 2 # mit gegenüberliegender Seite # = z #

Angrenzende Seite #=1# und Hypotenuse # = sqrt (z ^ 2 + 1) #

Aus Trigonometrie: Aufrufen von Halbwinkelformeln

#sin (w / 2) = sqrt ((1-cos w) / 2 #

# z / sqrt (z ^ 2 + 1) = sqrt ((1-cos w) / 2 #

lösen für #cos w #

#cos w = (1-z ^ 2) / (1 + z ^ 2) #

Auch mit der Identität #sin ^ 2w = 1-cos ^ 2w #

es folgt dem

#sin w = (2z) / (1 + z ^ 2) #

Das Integral wird

#int (dw) / (sin w-10 cos w) = int (2 · dz / (1 + z ^ 2)) / ((2z) / (1 + z ^ 2) -10 * (1-z ^) 2) / (1 + z ^ 2)) #

Vereinfachung der Integralergebnisse auf

#int (2 * dz) / (2z-10 + 10z ^ 2) #

#int ((1/5) * dz) / (z ^ 2 + z / 5-1) #

Durch das Ausfüllen des Platzes:

#int ((1/5) * dz) / (z ^ 2 + z / 5 + 1 / 100-1 / 100-1) #

#int ((1/5) * dz) / ((z + 1/10) ^ 2-101 / 100) #

#int ((1/5) * dz) / ((z + 1/10) ^ 2- (sqrt101 / 10) ^ 2) #

Verwenden Sie jetzt die Formel #int (du) / (u ^ 2-a ^ 2) = 1 / (2a) * ln ((u-a) / (u + a)) + C #

Lassen # u = z + 1/10 # und # a = sqrt101 / 10 # und einschließlich zurück die # i = sqrt (-1) #

Schreiben Sie die endgültige Antwort mit den Originalvariablen

# -sqrt (101) / 101i * ln ((10 ((ex + 10) / (sq (e) (2x) + 20e ^ x + 101) + 1)) + 1-sqrt101) / (10 ((e ^ x + 10) / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101) +1)) + 1 + sqrt101)) + C #