Lösen Sie die folgende Gleichung x ^ 8-10x ^ 4 + 9 = 0?

Antworten:

#x = + -1, + -i, + -sqrt (3), + -sqrt (3) i #

Erläuterung:

Gegeben:

# x ^ 8-10x ^ 4 + 9 = 0 #

Beachten Sie, dass dies tatsächlich eine quadratische in ist # x ^ 4 # wie so:

# (x ^ 4) ^ 2-10 (x ^ 4) +9 = 0 #

Wir können dies einschränken, um zu finden

# 0 = (x ^ 4) ^ 2-10 (x ^ 4) +9 = (x ^ 4-1) (x ^ 4-9) #

Jeder der verbleibenden Quartalsfaktoren ist ein Unterschied der Quadrate, daher können wir verwenden:

# A ^ 2-B ^ 2 = (A-B) (A + B) #

finden:

# x ^ 4-1 = (x ^ 2) ^ 2-1 ^ 2 = (x ^ 2-1) (x ^ 2 + 1) #

# x ^ 4-9 = (x ^ 2) ^ 2 - 3 ^ 2 = (x ^ 2-3) (x ^ 2 + 3) #

Die verbleibenden quadratischen Faktoren werden alle auch als Unterschiede der Quadrate gelten, aber wir müssen irrationale und / oder komplexe Koeffizienten verwenden, um einige von ihnen auszuführen:

# x ^ 2-1 = x ^ 2-1 ^ 2 = (x-1) (x + 1) #

# x ^ 2 + 1 = x ^ 2-i ^ 2 = (x-i) (x + i) #

# x ^ 2-3 = x ^ 2- (sqrt (3)) ^ 2 = (x-sqrt (3)) (x + sqrt (3)) #

# x ^ 2 + 3 = x ^ 2- (sqrt (3) i) ^ 2 = (x-sqrt (3) i) (x + sqrt (3) i) #

Daher sind die Nullstellen des ursprünglichen oktischen Polynoms:

#x = + -1, + -i, + -sqrt (3), + -sqrt (3) i #