X ^ 4-4x ^ 3 + x ^ 2 + 4x + 1 = 0. Wie löse ich für x?

Antworten:

# x = (1 + -sqrt5) / 2, x = (3 + -sqrt13) / 2 #

Erläuterung:

Da dieses Quartic keine rationalen Wurzeln hat (und ich kann mich nicht mit den Formeln beschäftigen), verwenden wir zunächst die Newton-Methode, um die Wurzeln zu approximieren:

# x ~~ -0.303 #

# x ~~ -0.618 #

# x ~~ 1.618 #

# x ~~ 3.303 #

Davon finden wir das # x ~~ -0.618 # und # x ~~ 1.618 # auffallen. Wir erkennen diese als den Goldenen Schnitt:

# x = (1 + -sqrt5) / 2 #

Wir können auch überprüfen, ob es sich um Wurzeln handelt, indem Sie sie in die Gleichung einbinden, aber Sie können mir einfach sagen, dass sie Wurzeln sind.

Dies bedeutet, dass das Folgende ein Faktor der Gleichung ist:

# (x- (1 + sqrt5) / 2) (x- (1-sqrt5) / 2) = #

# = ((x-1/2) + sqrt5 / 2) ((x-1/2) -sqrt5 / 2) = #

# = (x-1/2) ^ 2- (sqrt5 / 2) ^ 2 = x ^ 2-x + 1 / 4-5 / 4 = #

# = x ^ 2-x-1 #

Da wissen wir es # x ^ 2-x-1 # ist ein Faktor, wir können polynomiale Division verwenden, um den Rest herauszufinden und die Gleichung wie folgt umzuschreiben:

# (x ^ 2-x-1) (x ^ 2-3x-1) = 0 #

Wir haben bereits herausgefunden, wann der linke Faktor gleich Null ist, also schauen wir uns jetzt den rechten an. Wir können das Quadrat mit der quadratischen Formel lösen, um zu erhalten:

# x = (3 + -sqrt13) / 2 #