Was ist die Quadratwurzel von 82?

Antworten:

# 10> sqrt82> 9 #, # sqrt82 ~~ 9.0554 #

Erläuterung:

#x_ "n + 1" = 1/2 (x_n + S / x_n) -> sqrtS # zum #n -> oo #

S ist die Anzahl, von der Sie die Quadratwurzel annähern. In diesem Fall # S = 82 #

Hier ist, was das bedeutet und wie es verwendet wird:

Zuerst raten Sie mal, was könnte die Quadratwurzel von 82 sein?

die Quadratwurzel von 81 ist 9, also muss sie etwas höher als 9 sein, oder?

Unsere Vermutung wird sein #x_ "0" #sagen wir 9.2, #x_ "0" = 9,2 #

Das Einfügen von 9.2 als "x" in die Formel gibt uns einen Hinweis #x_ "0 + 1" = x_ "1" #

Dies ist die nächste Zahl, die wir in die Gleichung einsetzen. Dies liegt daran, dass wir mit einer Schätzung von 9,2 = begonnen haben #x_ "0" #Das gab uns eine Nummer #x_ "1" #Einfügen dieser Nummer gibt uns #x_ "2" #, die uns geben wird #x_ "3" # und so weiter, uns immer die nächste Nummer geben, wenn wir die vorherige einfügen. Die rechte Seite der Gleichung wird mit "#->#"bedeutet, dass, wenn" n "immer größer wird, die Zahl auch näher an die Quadratwurzel von S kommt, in diesem Fall 82.

Nehmen wir an, wir haben die gleiche Berechnung 100 Mal durchgeführt! Dann hätten wir #x_ "100" #. Diese Zahl würde sehr nahe an der Quadratwurzel von S liegen.

Genug geredet, lass uns ein paar Berechnungen machen!

Wir beginnen mit unserer Vermutung #x_ "0" = 9,2 #

#x_ "1" = 1/2 (9,2 + 82 / 9,2) ~~ 9,05652 #

Jetzt mache dasselbe mit der neuen Nummer: #x_2 = 1/2 (9.05652 + 82 / 9.05652) ~~ 9.05549 #

Lass es uns ein letztes Mal tun: #x_3 = 1/2 (9.05549 + 82 / 9.05546) ~~ 9.0554 #

Das bedeutet # sqrt82 ~~ 9.0554 #

Und da hast du es!

Tut mir leid, wenn mein Sprechen nervig war. Ich habe versucht, es ausführlich und auf einfache Weise zu erklären, was immer dann nett ist, wenn Sie mit einem bestimmten Bereich der Mathematik nicht sehr vertraut sind. Ich verstehe nicht, warum manche Leute bei der Erklärung von Mathematik so schick sein müssen:)

Antworten:

#sqrt (82) = 9 + 1 / (18 + 1 / (18 + 1 / (18 + 1 / (18 + …)))) ~ 9.0553851381374 #

Erläuterung:

Die Hauptfaktorisierung von #82# ist:

#82 = 2*41#

Da es keine quadratischen Faktoren gibt, #sqrt (82) # kann nicht vereinfacht werden. Es ist eine irrationale Zahl, die etwas größer ist als #9#.

Beachten Sie jedoch das #82=81+1 = 9^2+1#.

Da hat das die Form # n ^ 2 + 1 #hat die Quadratwurzel eine sehr regelmäßige Form als fortlaufende Fraktion:

#sqrt (82) = 9; Takt (18) = 9 + 1 / (18 + 1 / (18 + 1 / (18 + 1 / (18 + …)))) #

Allgemeiner:

#sqrt (n ^ 2 + 1) = n; Takt (2n) = n + 1 / (2n + 1 / (2n + 1 / (2n + 1 / (2n + …)))))

Noch allgemeiner:

#sqrt (n ^ 2 + m) = n + m / (2n + m / (2n + m / (2n + m / (2n + …))))

In jedem Fall können wir die fortgesetzte Fraktion verwenden, um rationale Näherungen zu erhalten #sqrt (82) # durch Abschneiden.

Zum Beispiel:

#sqrt (82) ~~ 9; 18 = 9 + 1/18 = 163/18 = 9,0bar (5) #

#sqrt (82) ~~ 9; 18,18 = 9 + 1 / (18 + 1/18) = 2943/325 = 9,05 bar (538461) #

#sqrt (82) - 9; 18,18,18 = 9 + 1 / (18 + 1 / (18 + 1/18)) = 53137/5868 - 9.05538513974 #

Ein Rechner sagt mir das:

#sqrt (82) ~~ 9.0553851381374 #

Sie sehen also, dass unsere Annäherungen auf genau so viele signifikante Stellen genau sind wie die Gesamtzahl der Stellen im Quotienten.