Was ist das Integral von (ln (xe ^ x)) / x?

Antworten:

# int # #ln (xe ^ x) / (x) dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #

Erläuterung:

Wir sind gegeben:

# int # #ln (xe ^ x) / (x) dx #

Verwenden #ln (ab) = ln (a) + ln (b) #:

# = int # # (ln (x) + ln (e ^ x)) / (x) dx #

Verwenden #ln (a ^ b) = bln (a) #:

# = int # # (ln (x) + xln (e)) / (x) dx #

Verwenden #ln (e) = 1 #:

# = int # # (ln (x) + x) / (x) dx #

Fraktion teilen (# x / x = 1 #):

# = int # # (ln (x) / x + 1) dx #

Trennung der summierten Integrale:

# = int # #ln (x) / xdx + int dx #

Das zweite Integral ist einfach #x + C #, woher # C # ist eine beliebige Konstante. Das erste Integral verwenden wir # u #-Auswechslung:

Lassen #u equiv ln (x) #also #du = 1 / x dx #

Verwenden # u #-Auswechslung:

# = int udu + x + C #

Integrieren (die beliebige Konstante # C # kann die beliebige Konstante des ersten unbestimmten Integrals aufnehmen:

# = u ^ 2/2 + x + C #

Zurücksetzen in Bezug auf # x #:

# = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #

Antworten:

#int ln (xe ^ x) / x dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #

Erläuterung:

Wir beginnen mit der folgenden Logarithmusidentität:

#ln (ab) = ln (a) + ln (b) #

Wenn wir dies auf das Integral anwenden, erhalten wir:

#int (ln (xe ^ x)) / x dx = int ln (x) / x + ln (e ^ x) / x dx = #

# = int ln (x) / x + x / x dx = int ln (x) / x + 1 dx = int ln (x) / x dx + x #

Um das verbleibende Integral zu bewerten, verwenden wir die Integration nach Teilen:

#int f (x) g '(x) dx = f (x) g (x) -int f' (x) g (x) dx #

Ich werde es lassen #f (x) = ln (x) # und #g '(x) = 1 / x #. Wir können das dann berechnen:

#f '(x) = 1 / x # und #g (x) = ln (x) #

Wir können dann die Integration nach Teilen anwenden, um Folgendes zu erhalten:

#int ln (x) / x dx = ln (x) * ln (x) -int ln (x) / x dx #

Da wir das Integral auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens haben, können wir es wie eine Gleichung lösen:

# 2int ln (x) / x dx = ln ^ 2 (x) #

#int ln (x) / x dx = ln ^ 2 (x) / 2 + C #

Wenn wir uns wieder mit dem ursprünglichen Ausdruck verbinden, erhalten wir unsere endgültige Antwort:

#int ln (xe ^ x) / x dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #