Wie finde ich das Integral int (x * e ^ -x) dx?

#int xe ^ (- x) dx = -xe ^ (- x) - e ^ (- x) + C #

Verarbeiten:

#int x e ^ (- x) dx = # ?

Dieses Integral erfordert die Integration von Teilen. Denken Sie an die Formel:

#int u dv = uv - int v du #

Wir werden es lassen #u = x #, und #dv = e ^ (- x) dx #.

Deshalb, #du = dx #. Finden # v # erfordert ein # u #-Auswechslung; Ich werde den Brief verwenden # q # anstatt # u # da wir schon verwenden # u # in der Integration von Teilen Formel.

#v = int e ^ (- x) dx #

Lassen #q = -x #.

somit, #dq = -dx #

Wir werden das Integral neu schreiben und zwei Negative hinzufügen # dq #:

#v = -int -e ^ (- x) dx #

Geschrieben in # q #:

#v = -int e ^ (q) dq #

Deshalb,

#v = -e ^ (q) #

Ersatz für # q # gibt uns:

#v = -e ^ (- x) #

Wenn wir nun auf die Formel des IBP zurückblicken, haben wir alles, was wir brauchen, um zu ersetzen:

#int xe ^ (- x) dx = x * (- e ^ (- x)) - int -e ^ (- x) dx #

Vereinfachen Sie die beiden Negative:

#int xe ^ (- x) dx = -xe ^ (- x) + int e ^ (- x) dx #

Dieses zweite Integral sollte leicht zu lösen sein - es ist gleich # v #was wir schon gefunden haben. Ersetzen Sie einfach, aber denken Sie daran, die Konstante der Integration hinzuzufügen:

#int xe ^ (- x) dx = -xe ^ (- x) - e ^ (- x) + C #