Beweise es: tan ^ 5x = ((1 / (1-sinx) ^ 2) - (1 / (1 + sinx) ^ 2)) / ((1 / (1-cosx) ^ 2) - (1 / ( 1 + cosx) ^ 2)?

Beweisen

# tg ^ 5x = ((1 / (1-sinx) ^ 2) - (1 / (1 + sinx) ^ 2)) / ((1 / (1-cosx) ^ 2) - (1 / (1+) cosx) ^ 2) #

RHS

# = ((1 / (1-sinx) ^ 2) - (1 / (1 + sinx) ^ 2)) / ((1 / (1-cosx) ^ 2) - (1 / (1 + cosx) ^ 2) #

# = (((1 + sinx) ^ 2- (1-sinx) ^ 2) / (1-sin ^ 2x) ^ 2) / (((1 + cosx ^ 2) - (1-cosx) ^ 2) / (1-cos ^ 2x) ^ 2) #

# = ((4sinx) / cos ^ 4x) / ((4cosx) / (sin ^ 4x)) #

# = sin ^ 5x / cos ^ 5x = tan ^ 5x = LHS #

Bewiesen

Dies ist einer dieser Beweise, der von rechts nach links leichter zu arbeiten ist. Beginnen mit:

# ((1 / (1-sinx) ^ 2) - (1 / (1 + sinx) ^ 2)) / ((1 / (1-cosx) ^ 2) - (1 / (1 + cosx) ^ 2) #

Multipliziere Zähler und Nenner der eingebetteten Brüche mit den "Konjugaten" (z. # 1pmsinx # auf # 1 sinx #). Sie bekommen das, z. # (1 + sinx) (1-sinx) = 1-sin ^ ^ 2x #.

# = (((1 + sinx) / ((1-sin ^ 2x) (1-sinx))) - ((1-sinx) / ((1-sin ^ 2x) (1 + sinx)))) (((1 + cosx) / ((1-cos ^ 2x) (1-cosx))) - ((1-cosx) / ((1-cos ^ 2x) (1 + cosx))) #

Wiederholen Sie den vorherigen Schritt, um den Nenner in den eingebetteten Brüchen weiter zu vereinfachen:

# = (((1 + sinx) ^ 2 / ((1-sin ^ 2x) ^ 2)) - ((1-sinx) ^ 2 / ((1-sin ^ 2x) ^ 2))) / (((1 + cosx) ^ 2 / ((1-cos ^ 2x) ^ 2)) ((1-cosx) ^ 2 / ((1-cos ^ 2x) ^ 2)) #

Verwenden Sie die Identitäten # 1-sin ^ 2x = cos ^ 2x # und # 1-cos ^ 2x = sin ^ 2x # bekommen:

# = (((1 + sinx) ^ 2 / (cos ^ 4x)) - ((1-sinx) ^ 2 / (cos ^ 4x))) / (((1 + cosx) ^ 2 / (sin 4x))) - ((1-cosx) ^ 2 / (sin ^ 4x)) #

Fraktionen kombinieren und umdrehen, um die Kehrwerte zu multiplizieren:

# = (((1 + sinx) ^ 2- (1-sinx) ^ 2) / (cos ^ 4x)) / (((1 + cosx) ^ 2- (1-cosx) ^ 2) / (sin ^ 4x)) #

# = ((1 + sinx) ^ 2- (1-sinx) ^ 2) / (cos ^ 4x) * (sin ^ 4x) / ((1 + cosx) ^ 2- (1-cosx) ^ 2) #

Erweitern Sie die quadratischen Ausdrücke:

# = (Abbruch (1) + 2sinx + Abbruch (sin ^ 2x) - (Abbruch (1) -2sinx + abbrechen (sin ^ 2x))) / (cos ^ 4x) * (sin ^ 4x) / (Abbruch (1) + 2cosx + aufheben (cos ^ 2x) - (aufheben (1) -2cosx + aufheben (cos ^ 2x))) #

# = (Abbruch (4) sinx) / (cos ^ 4x) * (sin ^ 4x) / (abbrechen (4) cosx) #

# = Farbe (blau) (tan ^ 5x) #