Antworten:
Siehe Erklärung
Erläuterung:
Lassen # a = p / q # woher # p # und # q # sind positive ganze Zahlen.
# 1ltp / q # deshalb # qltp #. # p / qlt2 # deshalb # plt2q #. Deshalb # qltplt2q #.
# a + 1 / a = p / q + q / p = (pp) / (qp) + (qq) / (pq) = (p ^ 2 + q ^ 2) / (pq) = (p ^ 2 +) 2pq + q ^ 2-2pq) / (pq) = (p + q) ^ 2 / (pq) - (2pq) / (pq) = (p + q) ^ 2 / (pq) -2 #
# (q + q) ^ 2 / (qq) lt (p + q) ^ 2 / (pq) lt (2q + q) ^ 2 / (2qq) #*
# (2q) ^ 2 / q ^ 2lt (p + q) ^ 2 / (pq) lt (3q) ^ 2 / (2q ^ 2) #
# (4q ^ 2) / q ^ 2lt (p + q) ^ 2 / (pq) lt (9q ^ 2) / (2q ^ 2) #
# 4lt (p + q) ^ 2 / (pq) lt9 / 2 #
# 4-2lt (p + q) ^ 2 / (pq) -2lt9 / 2-2 #
# 2lt (p + q) ^ 2 / (pq) -2lt5 / 2 #
# 2lta + 1 / alt5 / 2 #
# 5 / 2lt6 / 2 #
# 5 / 2lt3 #
# 2lta + 1 / alt3 #
~~ Fortgeschrittenere Themen vor ~~
* Dies setzt das als voraus # p # erhöht sich, # (p + q) ^ 2 / (pq) # erhöht sich. Dies kann intuitiv überprüft werden, indem der Graph von angezeigt wird # y = (x + q) ^ 2 / (xq) # auf #x in (q, 2q) # für verschiedene positive Werte von # q #oder durch den unten beschriebenen Kalkülprozess.
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# del / (delp) (p + q) ^ 2 / (pq) = 1 / qdel / (delp) (p + q) ^ 2 / p = 1 / q (pdel / (delp) (p + q) ^ 2 - (p + q) ^ 2 del / (delp) p) / p ^ 2 = 1 / q (p 2 (p + q)) - (p + q) ^ 2 1) / p ^ 2 = 1 / q (2p (p + q) - (p + q) ^ 2) / p ^ 2 = ((2p ^ 2 + 2pq) - (p ^ 2 + 2pq + q ^) 2)) / (p ^ 2q) = (p ^ 2-q ^ 2) / (p ^ 2q) #.
Auf #p in (q, 2q) #:
Schon seit # pgtqgt0 #, # p ^ 2gtq ^ 2 # somit # p ^ 2-q ^ 2gt0 #.
Schon seit #q> 0 #, # p ^ 2qgt0 #
Schon seit # p ^ 2-q ^ 2gt0 # und # p ^ 2qgt0 #, # (p ^ 2-q ^ 2) / (p ^ 2q) gt0 #
Schon seit # del / (delp) (p + q) ^ 2 / (pq) = (p ^ 2 - q ^ 2) / (p ^ 2q) # und # (p ^ 2-q ^ 2) / (p ^ 2q) gt0 #, # del / (delp) (p + q) ^ 2 / (pq) gt0 #
Deshalb # (p + q) ^ 2 / (pq) # nimmt ständig zu # q # und # qltplt2q # da # del / (delp) (p + q) ^ 2 / (pq) # ist positiv.
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Antworten:
In Beschreibung
Erläuterung:
Hier Einschränkung (1):
# 1 <a <2 #
Einschränkung (2):
Durch wechselseitige Theorem
# 1/1> 1 / a> 1/2 #
# 1> a> 1/2 #
In Bedingung 1 addiere auf beiden Seiten 1
# 1 + 1 <a + 1 <2 + 1 #
# 2 <a + 1 <3 #
#Farbe (rot) (a + 1 <3) #
In derselben Bedingung addiere 1/2
# (1 + 1/2) <(a + 1/2) <(2 + 1/2) #
Beachten Sie wieder, dass #2 <2+1/2#
So # a + 1/2 # muss kleiner als 2 sein
#Farbe (rot) (a + 1/2) <2 #
Daher unter Zwang 2
# 1> a> 1/2 #
Fügen Sie auf beiden Seiten ein
# 1 + a> a + 1 / a> 1/2 + a #
# 3> a + 1 / a> 2 #
# 2 <a + 1 / a <3 #
Wir haben es so gemacht, weil # a + 1 <3 #
So # a + 1 / a # muss kleiner als 3 sein.
Nochmal # a + 1/2 <2 # aber in dieser Einschränkung # a + 1 / a> a + 1/2 #
So, # a + 1 / a # muss größer als 2 sein.
Daher, # 1> 1 / a> 1 2 #
Durch Hinzufügen eines auf beiden Seiten
# 1 + a> a + 1 / a> a + 1/2 #
# 3> a + 1 / a> 2 #
# 2 <a + 1 / a <3 # bewiesen
