Wenn f (x) = x tan ^ -1dann ist f (1) was?

Antworten:

# f (1) # woher #f (x) = x arctan x #.

#f (1) = (1) (Arctan (1)) = Arctan 1 = pi / 4 #

Erläuterung:

Ich gehe davon aus, dass die Frage ist #f (1) # woher #f (x) = x arctan x #.

#f (1) = (1) (Arctan (1)) = Arctan 1 #

Normalerweise würde ich das behandeln # arctan # als mehrwertig. Aber hier mit der expliziten Funktionsnotation #f (x) # Ich sage, wir wollen den Hauptwert des inversen Tangens. Der Winkel mit Tangente 1 im ersten Quadranten beträgt # 45 ^ circ # oder # pi / 4 #:

#f (1) = (1) (Arctan (1)) = Arctan 1 = pi / 4 #

Das ist das Ende. Aber lassen Sie uns die Frage beiseite stellen und uns auf das konzentrieren #arctan t # bedeutet wirklich.

Ich denke normalerweise an #tan ^ -1 (t) # oder gleichwertig (und ich denke eine bessere Notation) #arctan (t) # Als ein mehrwertiger Ausdruck. Die "Funktion" arctan ist nicht wirklich eine Funktion, weil sie die Umkehrung von etwas Periodischem ist, das nicht wirklich eine Umkehrung über seine gesamte Domäne haben kann.

Dies ist wirklich verwirrend für Schüler und Lehrer. Plötzlich haben wir Dinge, die wie Funktionen aussehen, die nicht wirklich funktionieren. Sie sind irgendwie unter das Radar gerutscht. Für den Umgang mit ihnen sind neue Regeln erforderlich, die jedoch niemals explizit angegeben werden. Mathe wird unscharf, wenn es nicht sollte.

# x = arctan t # ist am besten als die Lösungen zu betrachten #tan x = t. # Es gibt unendlich viele davon, eine pro Periode. Tangens hat eine Periode von #Pi# so sind die lösungen #Pi# abgesehen davon, wo das ist #pi k # kommt aus, ganzzahlig # k #.

Normalerweise schreibe ich den Hauptwert des inversen Tangens als Arctan, mit einem Kapital A. Leider "korrigiert" Sokratisch es immer wieder. Ich werde es hier fälschen:

#t = tan x # hat Lösungen

#x = arctan t = text {Arc} text {tan} (t) + pi k quad # für eine ganze Zahl # k #.