Was ist das Integral von int ((x ^ 2-1) / sqrt (2x-1)) dx?

Antworten:

#int (x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = 1/20 (2x-1) ^ (5/2) +1/6 (2x-1) ^ (3/2) - 3/4 Quadrat (2x-1) + C #

Erläuterung:

Unser Hauptproblem in diesem Integral ist die Wurzel, deshalb wollen wir es loswerden. Wir können dies tun, indem wir eine Substitution einführen # u = sqrt (2x-1) #. Die Ableitung ist dann

# (du) / dx = 1 / sqrt (2x-1) #

Wir teilen uns also durch (und denken Sie daran, dass die Teilung durch einen Kehrwert das Gleiche ist wie das Multiplizieren nur mit dem Nenner), um dies zu integrieren # u #:

#int (x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = int (x ^ 2-1) / cancel (sqrt (2x-1)) cancel (sqrt (2x-1)) du = int x ^ 2-1 du #

Jetzt müssen wir nur noch das ausdrücken # x ^ 2 # bezüglich # u # (da kann man nicht integrieren # x # in Gedenken an # u #):

# u = sqrt (2x-1) #

# u ^ 2 = 2x-1 #

# u ^ 2 + 1 = 2x #

# (u ^ 2 + 1) / 2 = x #

# x ^ 2 = ((u ^ 2 + 1) / 2) ^ 2 = (u ^ 2 + 1) ^ 2/4 = (u ^ 4 + 2u ^ 2 + 1) / 4 #

Wir können das wieder in unser Integral stecken, um:

#int (u ^ 4 + 2u ^ 2 + 1) / 4-1 du #

Dies kann anhand der Reverse Power-Regel bewertet werden:

# 1/4 * u ^ 5/5 + 2/4 * u ^ 3/3 + u / 4-u + C #

Resubstitution für # u = sqrt (2x-1) #, wir bekommen:

# 1/20 (2x-1) ^ (5/2) +1/6 (2x-1) ^ (3/2) -3 / 4sqrt (2x-1) + C #