Wie beurteilen Sie das Integral von int (dt) / (t-4) ^ 2 von 1 bis 5?

Antworten:

Ersatz # x = t-4 #

Antwort ist, wenn Sie tatsächlich gefragt werden, das Integral zu finden:

#-4/3#

Wenn Sie das Gebiet suchen, ist es nicht so einfach.

Erläuterung:

# int_1 ^ 5dt / (t-4) ^ 2 #

Einstellen:

# t-4 = x #

Daher das Differential:

# (d (t-4)) / dt = dx / dt #

# 1 = dx / dt #

# dt = dx #

Und die Grenzen:

# x_1 = t_1-4 = 1-4 = -3 #

# x_2 = t_2-4 = 5-4 = 1 #

Ersetzen Sie nun diese drei Werte:

# int_1 ^ 5dt / (t-4) ^ 2 #

#int _ (- 3) ^ 1dx / x ^ 2 #

#int _ (- 3) ^ 1x ^ -2dx #

# 1 / (- 2 + 1) x ^ (- 2 + 1) _ (- 3) ^ 1 #

# - x ^ -1 _ (- 3) ^ 1 #

# - 1 / x _ (- 3) ^ 1 #

#-(1/1-1/(-3))#

#-(1+1/3)#

#-4/3#

HINWEIS: LESEN SIE DIESES NICHT, WENN SIE NICHT WIE SIE DAS GEBIET FINDEN. Obwohl dies eigentlich der Bereich zwischen den beiden Grenzwerten sein sollte, und da es immer positiv ist, hätte es positiv sein sollen. Diese Funktion ist jedoch nicht kontinuierlich beim # x = 4 # Dieses Integral stellt also nicht den Bereich dar, wenn Sie es wollten. Es ist etwas komplizierter.

Antworten:

# int_1 ^ 5 (dt) / (t-2) ^ 2 = -4 / 3 #

Erläuterung:

# int_1 ^ 5 (dt) / (t-2) ^ 2 "t-2 = u"; "dt = du #

# int_1 ^ 5 (du) / u ^ 2 = int _1 ^ 5u ^ -2 du = | (- 2 + 1) / (- 2 + 1) | _1 ^ 5 = | -u ^ -1 | _1 ^ 5 #

# int_1 ^ 5 (dt) / (t-2) ^ 2 = | -1 / u | _1 ^ 5 = | -1 / (t-2) | _1 ^ 5 #

# int_1 ^ 5 (dt) / (t-2) ^ 2 = -1 / ((5-2)) + 1 / ((1-2)) #

# int_1 ^ 5 (dt) / (t-2) ^ 2 = -1 / 3-1 = -4 / 3 #

Antworten:

Abhängig davon, wie viel Integration Sie gelernt haben, lautet die "beste" Antwort entweder: "Das Integral ist nicht definiert" (noch) oder "die integralen divergen"

Erläuterung:

Wenn wir versuchen zu bewerten # int_1 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx #Wir sollten prüfen, ob der Integrand in dem Intervall definiert ist, in dem wir integrieren.

# 1 / (x-4) ^ 2 # ist nicht definiert bei #4#, so ist es nicht für das gesamte Intervall definiert #1,5#.

Früh im Studium des Kalküls definieren wir das Integral, indem wir mit beginnen

"Lassen # f # auf Intervall festlegen # a, b #… '

So früh in unserer Studie ist das die beste Antwort

# int_1 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx # #' '# ist nicht definiert (noch?)

Später erweitern wir die Definition zu den sogenannten "unsachgemäßen Integralen"

Dazu gehören Integrale in unbegrenzten Intervallen (# (- oo, b #, # a, oo) # und # (- oo, oo) #) sowie Intervalle, in denen der Integrand Punkte hat, an denen er nicht definiert ist.

(Versuchen) zu bewerten # int_1 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx #, wir bewerten die beiden fehlerhaften Integrale # int_1 ^ 4 1 / (x-4) ^ 2 dx + int_4 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx #.

(Beachten Sie, dass der Integrand für diese immer noch nicht definiert ist geschlossen Intervalle.)

Die Methode besteht darin, den Punkt, an dem der Integrand undefiniert ist, durch eine Variable zu ersetzen, und dann eine Grenze zu setzen, wenn sich diese Variable der Zahl nähert.

# int_1 ^ 4 1 / (x-4) ^ 2 dx = lim_ (brarr4 ^ -) int_1 ^ b 1 / (x-4) ^ 2 dx #

Finden wir zuerst das Integral:

# int_1 ^ b 1 / (x-4) ^ 2 dx = -1 / (x-4) _ 1 ^ b #

# = (-1 / (b-4)) - (- 1 / (- 3)) #

# = -1 / (b-4) -1 / 3 #

Suche nach dem Limit als # brarr4 ^ - #sehen wir, dass das Limit nicht existiert. (Wie # brarr4 ^ - #, der Wert von # -1 / (b-4) # steigt ohne gebunden.)

Also das Integral vorbei #1,4# existiert also nicht das integral vorbei #1,5# ist nicht vorhanden.

Wir sagen, dass das Integral auseinander läuft.

Hinweis

Einige würden sagen: Wir haben jetzt eine Definition des Integrals gibt es einfach keine Zahl, die die Definition erfüllt.