Warum müssen wir "Kombinationen von n zu einem Zeitpunkt x genommenen Gegenständen" verwenden, wenn wir binomische Wahrscheinlichkeiten berechnen?

Warum müssen wir "Kombinationen von n zu einem Zeitpunkt x genommenen Gegenständen" verwenden, wenn wir binomische Wahrscheinlichkeiten berechnen?
Anonim

Antworten:

Siehe unten zu meinen Gedanken:

Erläuterung:

Die allgemeine Form für eine binomische Wahrscheinlichkeit lautet:

#sum_ (k = 0) ^ (n) C_ (n, k) (p) ^ k ((~ p) ^ (n-k)) #

Die Frage ist: Warum brauchen wir diesen ersten Begriff, den kombinierten Begriff?

Lassen Sie uns ein Beispiel bearbeiten und dann wird es klar.

Schauen wir uns die binomische Wahrscheinlichkeit an, eine Münze dreimal zu werfen. Lassen Sie uns Köpfe einstellen # p # und nicht Köpfe bekommen # ~ p # (beide #=1/2)#.

Wenn wir den Summationsprozess durchlaufen, werden die vier Terme der Summation gleich 1 sein (im Wesentlichen finden wir alle möglichen Ergebnisse und daher ist die Wahrscheinlichkeit aller summierten Ergebnisse 1):

#sum_ (k = 0) ^ (3) = Farbe (rot) (C_ (3,0) (1/2) ^ 0 ((1/2) ^ (3))) + Farbe (blau) (C_ (3,1) (1/2) ^ 1 ((1/2) ^ (2))) + C_ (3,2) (1/2) ^ 2 ((1/2) ^ (1)) + C_ (3,3) (1/2) ^ 3 ((1/2) ^ (0)) #

Sprechen wir also über den roten Begriff und den blauen Begriff.

Der rote Begriff beschreibt die Ergebnisse von 3 Schwänzen. Es gibt nur einen Weg, um dies zu erreichen, und daher haben wir eine Kombination, die gleich 1 ist.

Beachten Sie, dass der letzte Begriff, der alle Kopfköpfe beschreibt, auch eine Kombination hat, die gleich 1 ist, da es nur einen Weg gibt, um ihn zu erreichen.

Der blaue Begriff beschreibt die Ergebnisse von zwei Schwänzen und einem Kopf. Es gibt drei Möglichkeiten, die passieren können: TTH, THT, HTT. Wir haben also eine Kombination, die 3 entspricht.

Beachten Sie, dass der dritte Ausdruck das Erhalten von 1 Schwänzen und 2 Köpfen beschreibt. Es gibt auch drei Möglichkeiten, dies zu erreichen. Daher ist die Kombination gleich 3.

Tatsächlich müssen wir bei jeder Binomialverteilung die Wahrscheinlichkeit einer einzelnen Art von Ereignis ermitteln, beispielsweise die Wahrscheinlichkeit, 2 Köpfe und 1 Schwänze zu erreichen, und diese dann mit der Anzahl der möglichen Wege multiplizieren. Da uns die Reihenfolge, in der die Ergebnisse erzielt werden, nicht wichtig ist, verwenden wir eine Kombinationsformel (und nicht etwa eine Permutationsformel).