Wie finden Sie die Fläche eines Parallelogramms mit Eckpunkten?

Antworten:

Für Parallelogramm #A B C D# Die Gegend ist

#S = | (x_B-x_A) * (y_D-y_A) - (y_B-y_A) * (x_D-x_A) | #

Erläuterung:

Nehmen wir an, unser Parallelogramm #A B C D# wird durch die Koordinaten seiner vier Scheitelpunkte definiert - # x_A, y_A #, # x_B, y_B #, # x_C, y_C #, # x_D, y_D #.

Um die Fläche unseres Parallelogramms zu bestimmen, benötigen wir die Länge seiner Basis # | AB | # und die Höhe # | DH | # vom Scheitelpunkt # D # darauf hinweisen # H # auf der Seite # AB # (das ist, #DH_ | _AB #).

Um die Aufgabe zu vereinfachen, verschieben wir sie zunächst an eine Position, wenn sich ihr Scheitelpunkt befindet #EIN# stimmt mit dem Ursprung der Koordinaten überein. Der Bereich ist derselbe, aber die Berechnungen werden einfacher.

Wir werden also die folgende Transformation von Koordinaten durchführen:

# U = x-x_A #

# V = y-y_A #

Dann ist die (# U, V #) Koordinaten aller Scheitelpunkte sind:

#A U_A = 0, V_B = 0 #

#B U_B = x_B-x_A, V_B = y_B-y_A #

#C U_C = x_C-x_A, V_C = y_C-y_A #

#D U_D = x_D-x_A, V_D = y_D-y_A #

Unser Parallelogramm ist jetzt durch zwei Vektoren definiert:

# p = (U_B, V_B) # und # q = (U_D, V_D) #

Bestimmen Sie die Länge der Basis # AB # als Länge des Vektors # p #:

# | AB | = sqrt (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) #

Die Länge der Höhe # | DH | # kann als ausgedrückt werden # | AD | * sin (/ _ BAD) #.

Die Länge #ANZEIGE# ist die Länge des Vektors # q #:

# | AD | = sqrt (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

Winkel #/_SCHLECHT# kann unter Verwendung von zwei Ausdrücken für das Skalarprodukt (Punkt) von Vektoren bestimmt werden # p # und # q #:

# (p * q) = U_B * U_D + V_B * V_D = | p | * | q | * cos (/ _ BAD) #

aus denen

# cos ^ 2 (/ _BAD) = (U_B * U_D + V_B * V_D) ^ 2 / (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2)

# sin ^ 2 (/ _ BAD) = 1-cos ^ 2 (/ _ BAD) = #

# = 1 - (U_B * U_D + V_B * V_D) ^ 2 / (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) = #

# = (U_B * V_D-V_B * U_D) ^ 2 / (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

Nun kennen wir alle Komponenten, um die Fläche zu berechnen:

Base # | AB | = sqrt (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) #:

Höhe # | DH | = sqrt (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) * | U_A * V_D-V_A * U_D | / sqrt (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

Die Gegend ist ihr Produkt:

#S = | AB | * | DH | = | U_B * V_D-V_B * U_D | #

In Bezug auf die ursprünglichen Koordinaten sieht es so aus:

#S = | (x_B-x_A) * (y_D-y_A) - (y_B-y_A) * (x_D-x_A) | #

Antworten:

eine weitere Diskussion

Erläuterung:

Geometrischer Beweis

Betrachtet man die Figur

Wir können leicht die Formel für die Berechnung der Fläche eines Parallelogramm-ABCD aufstellen, wenn drei Eckpunkte (etwa A, B, D) bekannt sind.

Da die Diagonale BD das Parallelogramm in zwei kongruente Dreiecke halbiert.

Der Bereich des Parallelogramms ABCD

= 2 Fläche des Dreiecks ABD

= 2 Fläche von Trapez BAPQ + Fläche der Falle BQRD - Fläche der Falle DAPR

=2# 1/2 (AP + BQ) PQ + 1/2 (BQ + DR) QR-1/2 (AP + DR) PR #

= (Y_A + Y_B) (X_B-X_A) + (Y_B + Y_D) (X_D-X_B) - (Y_A + Y_D) (X_D-X_A) #

=# Y_AX_B + abbrechen (Y_BX_B) -abbruch (Y_AX_A) -Y_BX_A + Y_BX_D + abbrechen (Y_DX_D) -abbrechen (Y_BX_B) -Y_AX_D-abbrechen (Y_DX_D) + abbrechen (Y_AX_A) + Y_X___

=#Y_A (X_B_X_D) + Y_B (X_D-XA) + Y_D (X_A-X_B) #

Diese Formel gibt die Fläche des Parallelogramms an.

Beweis unter Berücksichtigung des Vektors

Es kann auch in Betracht gezogen werden #vec (AB) # und# vec (AD) #

Jetzt

Positionsvektor von Punkt A mit dem Ursprung O, #vec (OA) = X_Ahati + Y_Ahatj #

Positionsvektor des Punktes B w.r, t der Ursprung O, #vec (OB) = X_Bhati + Y_Bhatj #

Positionsvektor des Punktes D mit dem Ursprung O, #vec (OD) = X_Dhati + Y_Dhatj #

Jetzt

Bereich des Parallelogramms ABCD

# = Basis (AD) * Höhe (BE) = AD * h #

# = AD * ABsintheta = | vec (AD) Xvec (AB) | #

Nochmal

#vec (AD) = vec (OD) -vec (OA) = (X_D-X_A) hati + (Y_D-Y_A) hatj #

#vec (AB) = vec (OB) -vec (OA) = (X_B-X_A) hati + (Y_B-Y_A) hatj #

#vec (AD) #X#vec (AB) = (X_D-X_A) (Y_B-Y_A) - (X_B-X_A) (Y_D-Y_A) hatk #

Fläche = # | vec (AD) #X#vec (AB) | #

=# | Y_BX_D-Y_BX_A-Y_AX_D + Abbruch (Y_AX_A) -Y_DX_B + Y_DX_A + Y_AX_B-Abbruch (Y_AX_A) | #

=# | Y_BX_D-Y_BX_A-Y_AX_D-Y_DX_B + Y_DX_A + Y_AX_B | #

=# | Y_A (X_B_X_D) + Y_B (X_D-XA) + Y_D (X_A-X_B) | #

Wir haben also die gleiche Formel

Die Fläche eines Parallelogramms beträgt 24 Zentimeter und die Basis des Parallelogramms beträgt 6 Zentimeter. Wie hoch ist das Parallelogramm?

4 Zentimeter Fläche eines Parallelogramms ist Basis xx Höhe 24cm ^ 2 = (6xx Höhe) impliziert 24/6 = Höhe = 4cm

Zwei gegenüberliegende Seiten eines Parallelogramms haben Längen von 3. Wenn eine Ecke des Parallelogramms einen Winkel von pi / 12 hat und die Fläche des Parallelogramms 14 beträgt, wie lang sind die beiden anderen Seiten?

Nehmen wir ein bisschen grundlegende Trigonometrie an ... Sei x die (gemeinsame) Länge jeder unbekannten Seite. Wenn b = 3 das Maß der Basis des Parallelogramms ist, sei h seine vertikale Höhe. Die Fläche des Parallelogramms ist bh = 14 Da b bekannt ist, haben wir h = 14/3. Vom einfachen Trig aus ist sin (pi / 12) = h / x. Wir können den genauen Wert des Sinus ermitteln, indem wir entweder eine Halbwinkel- oder eine Differenzformel verwenden. sin (pi / 12) = sin (pi / 3 - pi / 4) = sin (pi / 3) cos (pi / 4) - cos (pi / 3) sin (pi / 4) = (sqrt6 - sqrt2) / 4 Also ... (sqrt6 - sqrt2) / 4 = h / xx (sqr

Was ist die Fläche eines Parallelogramms mit den Eckpunkten (2,5), (5, 10), (10, 15) und (7, 10)?

"Fläche des Parallelogramms" ABCD = 10 "sq. Units" Wir wissen, dass Farbe (blau) ("If" P (x_1, y_1), Q (x_2, y_2), R (x_3, y_3) die Scheitelpunkte der Farbe sind (blau) (Dreieck PQR, dann Fläche des Dreiecks: Farbe (blau) (Delta = 1/2 || D ||, wobei Farbe (blau) (D = | (x_1, y_1,1)) (x_2, y_2 , 1), (x_3, y_3,1) | ........................ (1) Zeichnen Sie den Graphen wie unten dargestellt Ordnung, wie in der Grafik gezeigt. Sei A (2,5), B (5,10), C (10,15) und D (7,10) die Eckpunkte des Parallelogramms ABCD. Wir wissen, dass "jede Diagonale eines Parallelogramms trennt das Parall