Was lässt sich über M schließen, die Anzahl der nicht-reellen Wurzeln der Gleichung x ^ 11 = 1?

Antworten:

Echte Wurzel: nur 1. Die anderen 10 komplexen Wurzeln sind

# cis ((2k) / 11pi), k = 1, 2, 3, …, 9, 10 #.

Erläuterung:

Die Gleichung lautet # x ^ 11-1 = #. Die Anzahl der Änderungen in den Zeichen der

Koeffizienten ist 1. Die Anzahl der positiven Wurzeln kann also nicht e sein

1 überschreiten.

Wenn Sie x in -x ändern, wird die Gleichung zu # -x ^ 11-1 = 0 # und das

Anzahl der Vorzeichenwechsel ist jetzt 0. Es gibt also keine negative Wurzel.

Komplexe Wurzeln treten auch in konjugierten Paaren auf und damit in der Anzahl von

komplexe Wurzeln sind eben.

Es gibt also nur eine wirkliche Wurzel und diese ist 1, wenn man beobachtet, dass die

Summe der Koeffizienten ist 0.

Insgesamt sind die 11 elften Wurzeln der Einheit

# cis ((2k / 11) pi), k = 0, 1, 2, 3, … 10, #.

und hier ist k = 0 eine Wurzel als #cis 0 = cos 0 + i sin 0 = 1 #