Was sind die Extrema und Sattelpunkte von f (x, y) = xye ^ (- x ^ 2-y ^ 2)?

Antworten:

#(0,0)# ist ein Sattelpunkt

# (1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) # und # (- 1 / sqrt 2, -1 / sqrt 2) # sind lokale Maxima

# (1 / sqrt 2, -1 / sqrt 2) # und # (- 1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) # sind lokale Minima

# (0, pm 1 / sqrt 2) # und # (pm 1 / sqrt 2,0) # sind Wendepunkte.

Erläuterung:

Für eine allgemeine Funktion #F (x, y) # mit einem stationären Punkt an # (x_0, y_0) # Wir haben die Taylor-Serienerweiterung

#F (x_0 + xi, y_0 + eta) = F (x_0, y_0) + 1 / (2!) (F_ {xx} xi ^ 2 + F_ {yy} eta ^ 2 + 2F_ {xy} xi eta) + ldots #

Für die Funktion

#f (x) = x y e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

wir haben

# (del f) / (del x) = ye ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + x y (-2x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = y (1-2x ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

# (del f) / (del y) = xe ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + x y (-2y) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = x (1-2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

Es ist leicht zu sehen, dass die beiden ersten Ableitungen an den folgenden Tagen verschwinden

• #(0,0)#
• # (0, pm 1 / sqrt2) #
• # (pm 1 / sqrt2, 0) #
• # (pm 1 / sqrt2, pm 1 / sqrt2) #

Um die Natur dieser stationären Punkte zu untersuchen, müssen wir uns das Verhalten der zweiten Ableitungen dort ansehen.

Jetzt

# (del ^ 2f) / (del x ^ 2) = y (-4x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + y (1-2x ^ 2) (-2x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = x y (4x ^ 2-6) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

und ähnlich

# (del ^ 2f) / (del y ^ 2) = xy (4y ^ 2-6) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

und

# (del ^ 2f) / (del xdel y) = (1-2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + x (1-2y ^ 2) (-2x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = (1-2x ^ 2-2y ^ 2 + 4x ^ 2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = (1-2x ^ 2) (1-2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

So für #(0,0)# wir haben # (del ^ 2f) / (delx ^ 2) = (del ^ 2f) / (del y ^ 2) = 0 # und # (del ^ 2f) / (del x del y) = 1 # - also

#f (0 + xi, 0 + eta) = f (0,0) + xi eta = xi eta #

Wenn Sie sich nähern #(0,0)# entlang der Linie # x = y #das wird dies

#f (0 + xi, 0 + xi) = xi ^ 2 #

und so #(0,0)# ist natürlich ein Minimum, wenn Sie sich aus dieser Richtung nähern. Andererseits, wenn Sie sich entlang der Linie nähern # x = -y # wir haben

#f (0 + xi, 0-xi) = -xi ^ 2 #

und so #(0,0)# ist ein Maximum entlang dieser Richtung, Somit #(0,0)# ist ein Sattelpunkt.

Zum # (1 / sqrt2,1 / sqrt2) # das ist leicht zu sehen

# (del ^ 2f) / (delx ^ 2) = (del ^ 2f) / (del y ^ 2) = -2e ^ {- 1/2} <0 # und # (del ^ 2f) / (del x del y) = 0 #

was bedeutet, dass

#f (1 / Quadrat 2 + xi, 1 / Quadrat 2 + eta) = f (1 / Quadrat 2,1 / Quadrat 2) -e ^ {- 1/2 (xi ^ 2 + eta ^ 2)} #

Die Funktion nimmt also unabhängig von der Entfernung ab # (1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) # und das ist ein lokales Maximum. Es ist leicht zu sehen, dass das gleiche gilt # (- 1 / sqrt2, -1 / sqrt2) # (das hätte offensichtlich sein müssen, da die Funktion unter bleibt # (x, y) bis (-x, -y) #!

Wieder für beide # (1 / sqrt2, -1 / sqrt2) # und # (- 1 / sqrt2,1 / sqrt2) # wir haben

# (del ^ 2f) / (delx ^ 2) = (del ^ 2f) / (del y ^ 2) = 2e ^ {- 1/2}> 0 # und # (del ^ 2f) / (del x del y) = 0 #

Beide Punkte sind also lokale Minima.

Die vier Punkte # (0, pm 1 / sqrt2) # und # (pm 1 / sqrt2, 0) # sind problematischer - da an diesen Stellen alle Derivate zweiter Ordnung verschwinden. Wir müssen uns jetzt Ableitungen höherer Ordnung anschauen. Glücklicherweise müssen wir nicht wirklich sehr hart dafür arbeiten - die nächste Ableitung liefert Renditen

# (del ^ 3f) / (del x ^ 3) = -2y (3-12x ^ 2 + 4x ^ 4) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

was für beide nicht null ist # (0, pm 1 / sqrt2) # und # (pm 1 / sqrt2, 0) #. Nun heißt das zum Beispiel

#f (0 + xi, 1 / sqrt 2) = f (0,1 / sqrt 2) +1/3 ((del ^ 3 f) / (del x ^ 3)) _ {(0,1 / sqrt2) } xi ^ 3 + … #

was zeigt, dass dies von zunehmen wird # f (0,1 / sqrt 2) # in eine Richtung, und in die andere Richtung abnehmen. Somit # (0,1 / sqrt2) # ist ein Wendepunkt. Dasselbe Argument gilt für die anderen drei Punkte.