Was ist die Ableitung von -sin (x)?

Die vorige Antwort enthält Fehler. Hier ist die richtige Ableitung.

Zunächst das Minuszeichen vor einer Funktion #f (x) = - sin (x) #Wenn Sie eine Ableitung nehmen, ändern Sie das Vorzeichen einer Ableitung einer Funktion #f (x) = sin (x) # zu einem gegenteil. Dies ist ein einfacher Satz in der Theorie der Grenzen: Grenzwert einer Konstanten multipliziert mit einer Variablen entspricht dieser Konstante multipliziert mit einem Grenzwert einer Variablen. Also, lasst uns die Ableitung von finden #f (x) = sin (x) # und multiplizieren Sie es dann mit #-1#.

Wir müssen von der folgenden Aussage über die Grenze der trigonometrischen Funktion ausgehen #f (x) = sin (x) # da sein Argument zu Null tendiert:

#lim_ (h-> 0) sin (h) / h = 1 #

Der Beweis dafür ist rein geometrisch und basiert auf der Definition einer Funktion #sin (x) #. Es gibt viele Webressourcen, die einen Beweis für diese Aussage enthalten, wie z. B. The Math Page.

Damit können wir eine Ableitung von berechnen #f (x) = sin (x) #:

#f '(x) = lim_ (h-> 0) (sin (x + h) -sin (x)) / h #

Verwendung der Darstellung einer Differenz von #Sünde# funktioniert als Produkt von #Sünde# und # cos # (siehe Unizor, Trigonometrie - Trig - Summe der Winkel - Probleme 4), #f '(x) = lim_ (h-> 0) (2 * sin (h / 2) cos (x + h / 2)) / h #

#f '(x) = lim_ (h-> 0) sin (h / 2) / (h / 2) * lim_ (h-> 0) cos (x + h / 2) #

#f '(x) = 1 * cos (x) = cos (x) #

Daher Ableitung von #f (x) = - sin (x) # ist #f '(x) = - cos (x) #.