Was ist eine Taylor-Erweiterung von e ^ (- 2x) bei x = 0?

Antworten:

#e ^ (- 2x) = Summe_ (n = 0) ^ oo (-2) ^ n / (n!) x ^ n = 1-2x + 2x ^ 2-4 / 3x ^ 3 + 2 / 3x ^ 4 # #

Erläuterung:

Der Fall einer Taylor-Serie breitete sich aus #0# wird eine Maclaurin-Serie genannt. Die allgemeine Formel für eine Maclaurin-Serie lautet:

#f (x) = sum_ (n = 0) ^ ovon ^ n (0) / (n!) x ^ n #

Um eine Serie für unsere Funktion auszuarbeiten, können wir mit einer Funktion für beginnen # e ^ x # und dann verwenden Sie das, um eine Formel für herauszufinden #e ^ (- 2x) #.

Um die Maclaurin-Serie zu konstruieren, müssen wir die n-te Ableitung von ermitteln # e ^ x #. Wenn wir einige Derivate nehmen, können wir schnell ein Muster erkennen:

#f (x) = e ^ x #

#f '(x) = e ^ x #

#f '' (x) = e ^ x #

In der Tat ist die n-te Ableitung von # e ^ x # ist nur # e ^ x #. Wir können dies in die Maclaurin-Formel integrieren:

# e ^ x = sum_ (n = 0) ^ ooe ^ 0 / (n!) x ^ n = sum_ (n = 0) ^ oox ^ n / (n!) = 1 + x / (1!) + x ^ 2 / (2!) + X ^ 3 / (3!) … #

Jetzt haben wir eine Taylor-Serie für # e ^ x #können wir einfach alles ersetzen # x #ist mit # -2x # eine Serie für bekommen #e ^ (- 2x) #:

#e ^ (- 2x) = sum_ (n = 0) ^ oo (-2x) ^ n / (n!) = sum_ (n = 0) ^ oo (-2) ^ n / (n!) x ^ n = #

# = 1-2 / (1!) X + 4 / (2!) X ^ 2-8 / (3!) X ^ 3 + 16 / (4!) X ^ 4 … = #

# = 1-2x + 2x ^ 2-4 / 3x ^ 3 + 2 / 3x ^ 4 … #

Welches ist die Serie, nach der wir gesucht haben.