Was ist die neue Transformationsmethode, um quadratische Gleichungen zu lösen?

Sagen Sie zum Beispiel, Sie haben …

# x ^ 2 + bx #

Dies kann umgewandelt werden in:

# (x + b / 2) ^ 2- (b / 2) ^ 2 #

Finden wir heraus, ob der obige Ausdruck wieder in übersetzt wird # x ^ 2 + bx #…

# (x + b / 2) ^ 2- (b / 2) ^ 2 #

# = ({x + b / 2} + b / 2) ({x + b / 2} -b / 2) #

# = (x + 2 * b / 2) x #

# = x (x + b) #

# = x ^ 2 + bx #

Die Antwort ist ja.

Nun ist es wichtig, das zu beachten # x ^ 2-bx # (Beachten Sie das Minuszeichen) kann umgewandelt werden in:

# (x-b / 2) ^ 2- (b / 2) ^ 2 #

Was Sie hier machen, ist den Platz fertigstellen. Sie können viele quadratische Probleme lösen, indem Sie das Quadrat ausfüllen.

Hier ist ein Hauptbeispiel dieser Methode bei der Arbeit:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 #

# ax ^ 2 + bx = -c #

# 1 / a * (ax ^ 2 + bx) = 1 / a * -c #

# x ^ 2 + b / a * x = -c / a #

# (x + b / (2a)) ^ 2- (b / (2a)) ^ 2 = -c / a #

# (x + b / (2a)) ^ 2-b ^ 2 / (4a ^ 2) = - c / a #

# (x + b / (2a)) ^ 2 = b ^ 2 / (4a ^ 2) -c / a #

# (x + b / (2a)) ^ 2 = b ^ 2 / (4a ^ 2) - (4ac) / (4a ^ 2) #

# (x + b / (2a)) ^ 2 = (b ^ 2-4ac) / (4a ^ 2) #

# x + b / (2a) = + - sqrt (b ^ 2-4ac) / sqrt (4a ^ 2) #

# x + b / (2a) = + - sqrt (b ^ 2-4ac) / (2a) #

# x = -b / (2a) + - sqrt (b ^ 2-4ac) / (2a) #

#:. x = (- b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #

Die berühmte quadratische Formel kann durch abgeleitet werden den Platz fertigstellen.

Die neue Transformationsmethode zur Lösung quadratischer Gleichungen.

FALL 1. Lösungstyp # x ^ 2 + bx + c = 0 #. Lösen bedeutet, zwei Zahlen zu finden, die ihre Summe kennen (# -b #) und ihr Produkt (# c #). Die neue Methode setzt sich aus Faktorpaaren von (# c #) und wendet gleichzeitig die Zeichenregel an. Dann findet es das Paar, dessen Summe gleich ist (# b #) oder (# -b #).

Beispiel 1. Lösen # x ^ 2 - 11x - 102 = 0 #.

Lösung. Faktorpaare von zusammensetzen #c = -102 #. Wurzeln haben unterschiedliche Zeichen. Vorgehen: #(-1, 102)(-2, 51)(-3, 34)(-6, 17).# Die letzte Summe # (- 6 + 17 = 11 = -b). # Dann sind die zwei echten Wurzeln: #-6# und #17#. Kein Factoring durch Gruppierung.

FALL 2. Standardtyp lösen: # ax ^ 2 + bx + c = 0 # (1).

Die neue Methode transformiert diese Gleichung (1) in: # x ^ 2 + bx + a * c = 0 # (2).

Lösen Sie die Gleichung (2) wie in CASE 1, um die zwei echten Wurzeln zu erhalten # y_1 # und # y_2 #. Als nächstes teilen # y_1 # und # y_2 # durch den Koeffizienten a, um die 2 echten Wurzeln zu erhalten # x_1 # und # x_2 # der ursprünglichen Gleichung (1).

Beispiel 2. Lösen # 15x ^ 2 - 53x + 16 = 0 #. (1) # a * c = 15 (16) = 240. #

Transformierte Gleichung: # x ^ 2 - 53 + 240 = 0 # (2). Löse Gleichung (2). Beide Wurzeln sind positiv (Rule of Signs). Faktorpaare von zusammensetzen # a * c = 240 #. Vorgehen: #(1, 240)(2, 120)(3, 80)(4, 60)(5, 48)#. Diese letzte Summe ist # (5 + 48 = 53 = -b) #. Dann sind die zwei echten Wurzeln: # y_1 = 5 # und

# y_2 = 48 #. Zurück zur ursprünglichen Gleichung (1), sind die zwei echten Wurzeln: # x_1 = y_1 / a = 5/15 = 1/3; # und # x_2 = y_2 / a = 48/15 = 16 / 5. # Kein Factoring und Lösen von Binomen.

Die Vorteile der neuen Transformationsmethode sind: einfach, schnell, systematisch, kein Raten, kein Gruppieren durch Gruppieren und kein Lösen von Binomen.

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