Beweisen Sie durch Induktion, dass f (n) = 2 ^ (2n-1) + 3 ^ (2n-1) durch 5 für n in ZZ ^ +?

Antworten:

Siehe unten.

Erläuterung:

Beachten Sie das für # m # Seltsam haben wir

# (a ^ m + b ^ m) / (a + b) = a ^ (m-1) -a ^ (m-2) b + a ^ (m-3) b ^ 2 + cdots -ab ^ (m -2) + b ^ (m-1) #

was die Bestätigung demonstriert.

Nun durch endliche Induktion.

Zum #n = 1 #

#2+3 = 5# das ist teilbar.

Nun, das nehme ich an

# 2 ^ (2n-1) + 3 ^ (2n-1) # ist teilbar wir haben

# 2 ^ (2 (n + 1) -1) + 3 ^ (2 (n + 1) -1) = 2 ^ (2n-1) 2 ^ 2 + 3 ^ (2n-1) 3 ^ 2 = #

# = 2 ^ (2n-1) 2 ^ 2 + 3 ^ (2n-1) 2 ^ 2 + 5 xx 3 ^ (2n-1) = #

# = 2 ^ 2 (2 ^ (2n-1) + 3 ^ (2n-1)) + 5 xx 3 ^ (2n-1) # das ist teilbar durch #5#

so ist es wahr.