Berechne sum_ (n = 0) ^ oo sqrt (n + 3) + sqrtn-2sqrt (n + 2)?

Antworten:

Teleskop-Serie 1

Erläuterung:

# Sigma (sqrt (n + 2) - 2sqrt (n + 1) + sqrt (n)) #

# Sigma (sqrt (n + 2) - sqrt (n + 1) -sqrt (n + 1) + sqrt (n)) #

#Sigma ((sq (n + 2) - sqrt (n + 1)) ((sq (n + 2) + sqrt (n + 1)) / (sq (n + 2) + sqrt (n + 1))) + (- Quadrat (n + 1) + Quadrat (n)) ((Quadrat (n + 1) + Quadrat (n)) / (Quadrat (n + 1) + Quadrat (n)))) #

#Sigma (1 / (sq (n + 2) + sqrt (n + 1)) + (- 1) / (sqrt (n + 1) + sqrt (n))) #

Dies ist eine kollabierende (Teleskop-) Serie.

Die erste Amtszeit ist

# -1 / (sqrt (2) + 1) = 1-sqrt2 #.

Antworten:

Siehe unten.

Erläuterung:

Das ist äquivalent zu

#sum_ (n = 3) ^ oo sqrtn + summe (n = 1) ^ oo sqrtn - 2 summe (n = 2) ^ oo sqrtn = 1-sqrt2 #

Zeigen Sie, dass 1 + 1 / sqrt2 + cdots + 1 / sqrtn> = sqrt2 (n-1) für n> 1?

Um zu zeigen, dass die Ungleichung wahr ist, verwenden Sie die mathematische Induktion 1 + 1 / sqrt2 + ... + 1 / sqrtn> = sqrt2 (n-1) für n> 1. Schritt 1: Beweisen Sie für n = 2 LHS = 1 + 1 / sqrt2 RHS = sqrt2 (2-1) = sqrt2 Seit 1 + 1 / sqrt2> sqrt2, dann LHS> RHS. Daher gilt es für n = 2. Schritt 2: Nehmen Sie wahr für n = k an, wobei k eine ganze Zahl ist und k> 1 1 + 1 / sqrt2 + ... + 1 / sqrtk> = sqrt2 (k-1) --- (1) Schritt 3: Wenn n = k + 1 ist, RTP: 1 + 1 / sqrt2 + ... + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)> = sqrt2 (k + 1-1), dh 0> = sqrt2- (1 + 1 / sqrt2 + ... + 1 / sqrtk + 1 / s

Die Seitenlängen eines spitzen Dreiecks sind sqrtn, sqrt (n + 1) und sqrt (n + 2). Wie findest du n?

Wenn das Dreieck ein rechtwinkliges Dreieck ist, ist das Quadrat der größten Seite gleich der Summe der Quadrate der kleineren Seiten. Das Dreieck ist aber spitzwinklig. Das Quadrat der größten Seite ist also weniger als die Summe der Quadrate der kleineren Seiten. Daher ist (sqrt (n + 2)) ^ 2 <(sqrtn) ^ 2 + (sqrt (n + 1)) ^ 2 => n + 2 <n + n + 1 => n> 1