Leiten Sie mathematisch die Wurzeln der Farbe (weiß) ("d") y = x ^ 3-3x-1 = 0?

Antworten:

#x = 2 cos (pi / 9 + (2npi) / 3) "" # zum #n = 0, 1, 2 #

Erläuterung:

Gegeben:

# x ^ 3-3x-1 = 0 #

Trigonometrische Substitution

Da hat dieser Kubik #3# Bei echten Nullen führt die Methode von Cardano zu Ausdrücken, die irreduzible Kubikwurzeln komplexer Zahlen enthalten. Cardanos Methode ist nicht falsch, aber sie ist nicht sehr freundlich, es sei denn, die Würfelwurzeln haben eine einfache Form.

Als Alternative würde ich mich für eine trigonometrische Substitution entscheiden.

Lassen:

#x = k cos theta #

Der Trick ist zu wählen # k # so dass der resultierende Ausdruck enthält # 4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta = cos 3 theta #.

Wir haben:

# 0 = x ^ 3-3x-1 #

#color (weiß) (0) = k ^ 3 cos ^ 3 theta - 3 k cos theta - 1 #

#Farbe (weiß) (0) = k (k ^ 2 cos ^ 3 Theta - 3 cos Theta) - 1 #

#Farbe (weiß) (0) = 2 (4 cos ^ 3 Theta - 3 cos Theta) - 1 "" # mit # k = 2 #

#Farbe (weiß) (0) = 2cos 3theta - 1 #

So:

#cos 3 theta = 1/2 #

So:

# 3 theta = + -pi / 3 + 2npi "" # für jede ganze Zahl # n #

So:

#theta = + -pi / 9 + (2npi) / 3 "" # für jede ganze Zahl # n #

Das wird geben #3# verschiedene mögliche Werte von #x = k cos theta #…

#x = 2 cos theta = 2 cos (pi / 9 + (2npi) / 3) "" # zum #n = 0, 1, 2 #.