Antworten:
Damit die dritte Seite die kürzeste ist, benötigen wir # (1 + sqrt2) | b |> absa> absb # (und das #ein# und # b # dasselbe Zeichen haben).
Erläuterung:
Die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks ist immer die Hypotenuse. Wir wissen also, wie lang die Hypotenuse ist # a ^ 2 + b ^ 2. #
Lass die unbekannte Seitenlänge sein # c. # Dann wissen wir aus dem Satz des Pythagoras
# (2ab) ^ 2 + c ^ 2 = (a ^ 2 + b ^ 2) ^ 2 #
oder
# c = sqrt ((a ^ 2 + b ^ 2) ^ 2- (2ab) ^ 2) #
#Farbe (weiß) c = sqrt (a ^ 4 + 2a ^ 2b ^ 2 + b ^ 4-4a ^ 2b ^ 2) #
#color (weiß) c = sqrt (a ^ 4-2a ^ 2b ^ 2 + b ^ 4) #
#color (weiß) c = sqrt ((a ^ 2-b ^ 2) ^ 2) #
#Farbe (weiß) c = a ^ 2-b ^ 2 #
Wir fordern auch, dass alle Seitenlängen positiv sind
- # a ^ 2 + b ^ 2> 0 #
# => a! = 0 oder b! = 0 #
- # 2ab> 0 #
# => a, b> 0 oder a, b <0 #
- # c = a ^ 2-b ^ 2> 0 #
# <=> a ^ 2> b ^ 2 #
# <=> absa> absb #
Jetzt für irgendein Dreieck, die längste Seite Muss kürzer sein als der Summe der anderen beiden Seiten. Also haben wir:
#Farbe (weiß) (=>) 2ab + "" c Farbe (weiß) (XX)> a ^ 2 + b ^ 2 #
# => 2ab + (a ^ 2-b ^ 2)> a ^ 2 + b ^ 2 #
# => 2ab Farbe (weiß) (XXXXXX)> 2b ^ 2 #
# => {(a> b "," wenn b> 0), (a <b "," wenn b <0):} #
Damit die dritte Seite am kleinsten ist, # a ^ 2-b ^ 2 <2ab #
oder # a ^ 2-2ab + b ^ 2 <2b ^ 2 # oder # a-b <sqrt2b # oder #a <b (1 + sqrt2) #
Wenn wir alle diese Einschränkungen kombinieren, können wir daraus schließen, dass die dritte Seite die kürzeste sein muss, die wir haben müssen # (1 + sqrt2) | b |> absa> absb und (a, b <0 oder a, b> 0). #
