Welches der Folgenden hat die maximale Anzahl an echten Wurzeln?

Antworten:

# x ^ 2-3 abs (x) +2 = 0 # mit #4# echte Wurzeln

Erläuterung:

Beachten Sie, dass die Wurzeln von:

# ax ^ 2 + b abs (x) + c = 0 #

sind eine Untermenge der Vereinigung der Wurzeln der beiden Gleichungen:

# {(ax ^ 2 + bx + c = 0), (ax ^ 2-bx + c = 0):} #

Wenn eine dieser beiden Gleichungen ein Paar realer Wurzeln hat, gilt dies auch für die andere, da sie dieselbe Diskriminante haben:

#Delta = b ^ 2-4ac = (-b) ^ 2-4ac #

Beachten Sie außerdem, dass wenn #a, b, c # Alle haben dann dasselbe Zeichen # ax ^ 2 + b abs (x) + c # nimmt immer Werte dieses Zeichens an, wenn # x # ist echt. Also in unseren Beispielen da # a = 1 #können wir sofort feststellen:

# x ^ 2 + 3 abs (x) +2> = 2 #

hat also keine Nullen.

Schauen wir uns die anderen drei Gleichungen der Reihe nach an:

1) # x ^ 2-abs (x) -2 = 0 #

# {(0 = x ^ 2-x-2 = (x-2) (x + 1) => x in {-1, 2}), (0 = x ^ 2 + x-2 = (x +2) (x-1) => x in {-2, 1}):} #

Bei jedem Versuch finden wir Lösungen #x in {-2, 2} #

3) # x ^ 2-3 abs (x) +2 = 0 #

# {(0 = x ^ 2-3x + 2 = (x-1) (x-2) => x in {1, 2}), (0 = x ^ 2 + 3x + 2 = (x +) 1) (x + 2) => x in {-1, -2}):} #

Bei jedem Versuch werden alle Lösungen der ursprünglichen Gleichung gefunden, d. H. #x in {-2, -1, 1, 2} #

Alternative Methode

Beachten Sie, dass echte Wurzeln von # ax ^ 2 + b abs (x) + c = 0 # (woher #c! = 0 #) sind positive Wurzeln von # ax ^ 2 + bx + c = 0 #.

Zu finden, welche der gegebenen Gleichungen die meisten reellen Wurzeln hat, ist gleichbedeutend mit dem Finden, welche der entsprechenden gewöhnlichen quadratischen Gleichungen die meisten positiven reellen Wurzeln hat.

Eine quadratische Gleichung mit zwei positiven reellen Wurzeln hat Vorzeichen im Muster #+ - +# oder #- + -#. In unserem Beispiel ist das erste Zeichen immer positiv.

Von den angegebenen Beispielen haben nur der zweite und der dritte Koeffizient in dem Muster #+ - +#.

Wir können die zweite Gleichung ausrechnen # x ^ 2-2 abs (x) + 3 = 0 # da seine Diskriminante negativ ist, aber für die dritte Gleichung finden wir:

# 0 = x ^ 2-3x + 2 = (x-1) (x-2) #

hat zwei positive reale Wurzeln, die nachgeben #4# Wurzeln der Gleichung # x ^ 2-3 abs (x) +2 = 0 #