Gibt es einen Punkt (x, y) auf der Kurve y = x ^ (x (1 + 1 / y)), x> 0, an dem die Tangente parallel zur x-Achse liegt?

Antworten:

Es gibt keinen solchen Punkt, was meine Mathematik angeht.

Erläuterung:

Betrachten wir zunächst die Bedingungen der Tangente, wenn sie parallel zum ist # x #-Achse. Seit der # x #-Achse ist horizontal, jede Linie parallel dazu muss auch horizontal sein; Daraus folgt, dass die Tangente horizontal ist. Horizontale Tangenten treten natürlich auf, wenn die Ableitung gleich ist #0#.

Deshalb müssen wir zunächst die Ableitung dieser monströsen Gleichung finden, die durch implizite Differenzierung erreicht werden kann:

# y = x ^ (x + x / y) #

# -> lny = (x + x / y) lnx #

Mit der Summenregel, Kettenregel, Produktregel, Quotientenregel und Algebra haben wir:

# d / dx (lny) = d / dx ((x + x / y) lnx) #

# -> dy / dx * 1 / y = (x + x / y) '(lnx) + (x + x / y) (lnx)' #

# -> dy / dx * 1 / y = (x + x / y) '(lnx) + (x + x / y) (lnx)' #

# -> dy / dx * 1 / y = (1 + (x'y-xdy / dx) / y ^ 2) (lnx) + (x + x / y) (1 / x) #

# -> dy / dx * 1 / y = Inx + Inx ((y-xdy / dx) / y ^ 2) + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx * 1 / y = Inx + Inx (1 / y - (xdy / dx) / y ^ 2) + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx * 1 / y = lnx + (lnx) / y- (xlnxdy / dx) / y ^ 2 + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx * 1 / y + (xlnxdy / dx) / y ^ 2 = lnx + (lnx) / y + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx (1 / y + (xlnx) / y ^ 2) = lnx + (lnx) / y + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx ((y + xlnx) / y ^ 2) = lnx + (lnx) / y + 1 + 1 / y #

# -> dy / dx ((y + xlnx) / y ^ 2) = (ylnx + lnx + 1 + y) / y #

# -> dy / dx = ((ylnx + lnx + 1 + y) / y) / ((y + xlnx) / y ^ 2) #

# -> dy / dx = (y (ylnx + lnx + 1 + y)) / (y + xlnx) #

Wow … das war intensiv. Jetzt setzen wir die Ableitung auf #0# und sehen was passiert.

# 0 = (y (ylnx + lnx + 1 + y)) / (y + xlnx) #

# 0 = ylnx + lnx + 1 + y #

# -ylnx-y = lnx + 1 #

# -y (lnx + 1) = lnx + 1 #

#y (lnx + 1) = - (lnx + 1) #

#y = (- (lnx + 1)) / (lnx + 1) #

# y = -1 #

Interessant. Nun lass uns einstecken # y = -1 # und sehen, was wir bekommen # x #:

# y = x ^ (x (1 + 1 / y)) #

# -1 = x ^ (x (1 + 1 / -1)) #

# -1 = x ^ (x (1-1)) #

# -1 = x ^ 0 #

#-1=1#

Da dies ein Widerspruch ist, schließen wir, dass es keine Punkte gibt, die diese Bedingung erfüllen.

Antworten:

Es gibt keine solche Tangente.

Erläuterung:

#y = x ^ (x (1 + 1 / y)) äquiv y ^ {y / (y + 1)} = x ^ x #. Jetzt anrufen #f (x, y) = x ^ x-y ^ {y / (y + 1)} = u (x) + v (y) = 0 # wir haben

#df = f_x dx + f_y dy = (partielles u) / (partielles x) dx + (partielles v) / (partielles y) dy = 0 # dann

# dy / dx = - ((partielles u) / (partielles x)) / ((partielles v) / (partielles y)) = (x ^ x (1 + Log_e (x)) (1 + y) ^ 2) / (y ^ (y / (1 + y)) (1 + y + Log_e (y))) = ((1 + Log_e (x)) (1 + y) ^ 2) / (1 + y + Log_e (y)) #

Wir sehen das # dy / (dx) = 0 -> {y_0 = -1, x_0 = e ^ {- 1}} # Diese Werte müssen jedoch Folgendes überprüfen:

#f (x, y_0) = 0 # und

#f (x_0, y) = 0 #

Im ersten Fall, # y_0 = 1 # wir haben

# x ^ x = -1 # was in der realen Domäne nicht erreichbar ist.

Im zweiten Fall # x_0 = e ^ {- 1} # wir haben

# y ^ {y / (y + 1)} = e ^ {- 1} # oder

# y / (y + 1) log_e y = -1 #

aber

# y / (y + 1) log_e y> -1 # also auch keine echte lösung.

Schlussendlich gibt es keine solche Tangente.

Antworten:

Die Antwort von Dr. Cawa K, x = 1 / e, ist präzise.

Erläuterung:

Ich hatte diese Frage vorgeschlagen, um genau diesen Wert zu erhalten. Dank an

Dr., Cawas für eine entscheidende Antwort, die die Offenbarung bestätigt

Die doppelte Genauigkeit y 'bleibt um dieses Intervall gleich 0. y ist

kontinuierlich und unterscheidbar bei x = 1 / e. Da beide die 17-sd verdoppeln

Genauigkeit y und y 'sind 0, in diesem Intervall um x = 1 / e war es a

Vermutung, dass die X-Achse den Graphen dazwischen berührt. Und jetzt ist es so

bewiesen. Ich denke, dass die Berührung transzendental ist..