Was ist die Quadratwurzel von 5?

Die Quadratwurzel von #5# Vater kann nicht vereinfacht werden, als es schon ist, also hier # sqrt5 # bis zehn Dezimalstellen:

# sqrt5 ~~ 2.2360679775 … #

Antworten:

#sqrt (5) = 2 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + …))))) ~ 2889/1292 ~ 2,236068 # ist eine irrationale Zahl.

Erläuterung:

Alle positiven Zahlen haben normalerweise zwei Quadratwurzeln, eine positive und ein Negativ derselben Größe. Wir bezeichnen die positive (a.k.a.-) Hauptwurzel von # n # durch #sqrt (n) #.

Eine Quadratwurzel einer Zahl # n # ist eine Zahl # x # so dass # x ^ 2 = n #. Also wenn # x ^ 2 = n # dann auch # (- x) ^ 2 = n #.

Die gängige Verwendung ist jedoch, dass sich "die Quadratwurzel" auf die positive Wurzel bezieht.

Angenommen, wir haben eine positive Zahl # x # was erfüllt:

#x = 2 + 1 / (2 + x) #

Dann multiplizieren Sie beide Seiten mit # (2 + x) # wir bekommen:

# x ^ 2 + 2x = 2x + 5 #

Dann subtrahieren # 2x # von beiden Seiten bekommen wir:

# x ^ 2 = 5 #

Also haben wir gefunden:

#sqrt (5) = 2 + 1 / (2 + sqrt (5)) #

#Farbe (weiß) (Quadrat (5)) = 2 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + …))))) #

Da diese fortgesetzte Fraktion nicht endet, können wir das feststellen #sqrt (5) # kann nicht als abschließender Bruch dargestellt werden - d. h. als rationale Zahl. So #sqrt (5) # ist eine irrationale Zahl etwas kleiner als #2 1/4 = 9/4#. Für eine bessere rationale Annäherung können Sie den fortgesetzten Bruch nach weiteren Begriffen beenden.

Zum Beispiel:

#sqrt (5) ~ 2 + 1 / (4 + 1/4) = 2 + 4/17 = 38/17 ~~ 2.235 #

Das Auspacken dieser fortgesetzten Bruchteile kann ein wenig langwierig sein, weshalb ich im Allgemeinen lieber eine andere Methode benutze, nämlich den Grenzwert einer rekursiv definierten Ganzzahlsequenz.

Definieren Sie eine Sequenz durch:

# {(a_0 = 0), (a_1 = 1), (a_ (n + 2) = 4a_ (n + 1) + a_n):} #

Die ersten paar Begriffe sind:

#0, 1, 4, 17, 72, 305, 1292, 5473#

Das Verhältnis zwischen den Begriffen wird dazu tendieren # 2 + sqrt (5) #.

Also finden wir:

#sqrt (5) ~~ 5473/1292 - 2 = 2889/1292 ~~ 2.236068 #