Y = f (x) ist gegeben.Graph, y = f (3x) -2 und y = -f (x-1)?

Antworten:

Ich habe kein Millimeterpapier zur Hand - also hoffe ich, dass die Beschreibung hilft!

Erläuterung:

Zum # y = f (3x) -2 # zuerst drücken das angegebene Diagramm entlang der # x # Achse um den Faktor 3 (so dass das linke Minimum beispielsweise bei auftritt # x = -2 / 3 #), und drücken Sie dann die gesamte Grafik Nieder um 2 Einheiten. Damit hat der neue Graph ein Minimum bei #x = -2 / 3 # mit einem Wert von # y = -2 #maximal bei #(0,0)# und ein weiteres Minimum bei #(4/3, -4)#

Zum # y = -f (x-1) # Verschieben Sie zuerst die Grafik 1-Einheit auf die Recht, dann dreh es um! Der neue Graph wird also zwei haben Maxima beim #(-1,0)# und #(5,2)# und ein Minimum bei #(1,-2) #

Antworten:

Hier ist eine detailliertere Erklärung

Erläuterung:

Die Probleme sind Sonderfälle eines allgemeineren Problems:

Angesichts der Grafik für # y = f (x) #, was ist der Graph von #y = a f (b x + c) + d # ?

(der erste ist für # a = 1, b = 3, c = 0, d = -2 #, während der zweite für ist # a = -1, b = 1, c = -1, d = 0 #)

Ich werde versuchen, die Antwort in Schritten zu erklären, indem ich das Problem Schritt für Schritt anpacke. Es wird eine ziemlich lange Antwort geben - aber hoffentlich wird der allgemeine Grundsatz am Ende klar sein.

Zur Veranschaulichung werde ich eine bestimmte Kurve verwenden, die ich unten zeige, aber die Idee funktioniert im Allgemeinen.

(Wenn jemand interessiert ist, wird hier die Funktion dargestellt #f (x) = exp (- {(x-1) ^ 2} / 2) #

1) Gegeben der Graph für # y = f (x) #, was ist der Graph von #y = f (x) + d # ?

Dies ist einfach - alles, was Sie tun müssen, ist, wenn # (x, y) # ist dann ein Punkt in der ersten Grafik # (x, y + d) # ist ein Punkt auf dem zweiten. Dies bedeutet, dass der zweite Graph um eine Distanz höher ist als der erste # d # (natürlich, wenn # d # negativ ist, ist es niedriger als der erste Graph um # | d | #).

Also das Diagramm von # y = f (x) + 1 # wird sein

Wie Sie sehen, ist die Grafik für #y = f (x) + 1 # (die durchgezogene violette Linie) wird durch einfaches Drücken der Grafik für erhalten # y = f (x) # (die graue gestrichelte Linie) oben um eine Einheit.

Die Grafik für # y = f (x) -1 # kann durch Drücken des ursprünglichen Diagramms gefunden werden Nieder um eine Einheit:

2) Gegeben die Grafik für # y = f (x) #, was ist der Graph von #y = f (x + c) # ?

Es ist leicht zu sehen, wenn # (x, y) # ist ein Punkt auf der # y = f (x) # Graph, dann # (x-c, y) # wird ein Punkt auf der sein #y = f (x + c) # Graph. Dies bedeutet, dass Sie die Grafik von erhalten können #y = f (x + c) # aus dem Diagramm von #y = f (x) # einfach indem Sie es auf die verschieben links durch # c # (natürlich, wenn # c # negativ ist, müssen Sie die ursprüngliche Grafik um verschieben # | c | # auf der rechten Seite.

Als Beispiel ist der Graph für # y = f (x + 1) # kann gefunden werden, indem Sie die Originalgrafik auf die Position drücken links um eine Einheit:

während das für # y = f (x-1) # beinhaltet das Schieben der Originalgrafik an die Recht um eine Einheit:

3) Gegeben der Graph für # y = f (x) #, was ist der Graph von #y = f (bx) # ?

Schon seit #f (x) = f (b mal x / b) # Daraus folgt, dass wenn # (x, y) # ist ein Punkt auf der #y = f (x) # Graph, dann # (x / b, y) # ist ein Punkt auf der # y = f (bx) # Graph.

Das bedeutet, dass der ursprüngliche Graph sein muss zusammengedrückt um einen Faktor von # b # entlang des # x # Achse. Natürlich das Quetschen # b # ist wirklich ein Dehnung durch # 1 / b # für den Fall wo # 0 <b <1 #

Die Grafik für # y = f (2x) # ist

Wenn die Höhe bei 1 gleich bleibt, schrumpft die Breite um einen Faktor 2. Insbesondere hat sich der Peak der ursprünglichen Kurve verschoben # x = 1 # zu # x = 1/2 #.

Auf der anderen Seite ist der Graph für # y = f (x / 2) # ist

Beachten Sie, dass dieses Diagramm doppelt so breit ist (Drücken von) #1/2# dasselbe wie das Dehnen um einen Faktor 2), und der Peak hat sich auch von entfernt # x = 1 # zu # x = 2 #.

Besonders hervorzuheben ist der Fall, in dem # b # ist negativ. Am besten ist es dann, wenn wir uns das als zweistufigen Prozess vorstellen

• Finden Sie zuerst die Grafik von # y = f (-x) #, und dann
• Drücken Sie die resultierende Grafik durch # | b | #

Beachten Sie das für jeden Punkt # (x, y) # der ursprüngliche Graph, der Punkt # (- x, y) # ist ein Punkt in der Grafik von # y = f (-x) # - so kann der neue Graph gefunden werden, indem der alte über den reflektiert wird # Y # Achse.

Zur Veranschaulichung des zweistufigen Prozesses betrachten Sie den Graph von # y = f (-2x) # unten gezeigt:

Hier die ursprüngliche Kurve, das für # y = f (x) # wird zuerst umgedreht # Y # Achse, um die Kurve zu erhalten # y = f (-x) # (die dünne Cyanlinie). Dies wird dann um einen Faktor von 10 zusammengedrückt #2# um die Kurve zu bekommen # y = f (-2x) # - die dicke violette Kurve.

4) Gegeben die Grafik für # y = f (x) #, was ist der Graph von #y = af (x) # ?

Das Muster ist hier dasselbe - wenn # (x, y) # ist dann ein Punkt auf der ursprünglichen Kurve # (x, ay) # ist ein Punkt in der Grafik von # y = af (x) #

Das bedeutet das für ein positives #ein#wird der Graph um einen Faktor gestreckt #ein# entlang des # Y # Achse. Wieder ein Wert von #ein# zwischen 0 und 1 bedeutet, dass die Kurve nicht gestreckt wird, sondern tatsächlich um den Faktor # 1 / a # entlang des # Y # Achse.

Die folgende Kurve ist für # y = 2f (x) #

Beachten Sie, dass währenddessen der Peak den gleichen Wert von hat # x # - seine Höhe hat sich von 1 auf 2 verdoppelt. Natürlich ist nicht nur der Gipfel gestreckt worden - der # y # Die Koordinate jedes Punktes der ursprünglichen Kurve wurde verdoppelt, um die neue Kurve zu erhalten.

Die folgende Abbildung zeigt das Quetschen, das auftritt, wenn #0<>

Noch einmal der Fall für #a <0 # ist besonders vorsichtig - und es ist besser, wenn Sie dies in zwei Schritten tun

1. Drehen Sie die Kurve zuerst um die # X # Achse, um die Kurve zu erhalten # y = -f (x) #
2. Dehnen Sie die Kurve aus # | a | # entlang des # Y # Achse.

Die Kurve für # y = -f (x) # ist

Das folgende Bild zeigt die zwei Schritte, die beim Zeichnen der Kurve für erforderlich sind #y = -2f (x) #

Alles zusammen setzen

Nun, da wir die einzelnen Schritte durchlaufen haben, lassen Sie uns alle zusammenfügen! Das Verfahren zum Zeichnen der Kurve für

# y = a f (bx + c) + d #

beginnend mit dem von # y = f (x) # besteht im Wesentlichen aus den folgenden Schritten

1. Zeichne die Kurve von # y = f (x + c) #: Verschieben Sie die Grafik um eine Distanz # c # nach links
2. Dann plott das von #y = f (bx + c) #: Drücken Sie die Kurve, die Sie von Schritt 1 in erhalten # X # Richtung durch den Faktor # | b | #(zuerst umgedreht über die # Y # Achse wenn #b <0 #)
3. Plotten Sie dann die Grafik von # y = af (bx + c) #: Skalieren Sie die Kurve, die Sie von Schritt 2 bis zu einem Faktor erhalten haben #ein# in vertikaler Richtung.
4. Schieben Sie schließlich die Kurve, die Sie in Schritt 3 erhalten, um eine Strecke nach oben # d # um das Endergebnis zu erhalten.

Natürlich müssen Sie alle vier Schritte nur in extremen Fällen durchführen - oft sind es weniger Schritte! Auch die Reihenfolge der Schritte ist wichtig.

Falls Sie sich fragen, folgen diese Schritte aus der Tatsache, dass if # (x, y) # ist ein Punkt auf der # y = f (x) # Graph, dann den Punkt

# ({x-c} / b, ay + d) # ist auf # y = af (bx + c) + d # Graph.

Lassen Sie mich den Prozess anhand unserer Funktion veranschaulichen #f (x) #. Versuchen wir, die Grafik für zu konstruieren #y = -2f (2x + 3) + 1 #

Erstens - die Verschiebung um 3 Einheiten nach links

Dann: Drücken Sie um den Faktor 2 entlang der # X # Achse

Dann dreht sich die Grafik um die # X # Achse und dann um einen Faktor 2 entlang skalieren # Y #

Zum Schluss die Kurve um 1 Einheit nach oben verschieben - und fertig!