Wie finden Sie die Grenze von sqrt (x ^ 2-9) / (2x-6), wenn x sich -oo nähert?

Antworten:

Tun Sie ein wenig Factoring, um zu bekommen #lim_ (x -> - oo) = - 1/2 #.

Erläuterung:

Wenn wir uns mit Grenzen im Unendlichen befassen, ist es immer hilfreich, ein auszufallen # x #oder ein # x ^ 2 #oder welche Macht auch immer # x # vereinfacht das Problem. Lassen Sie uns für diesen einen ausrechnen # x ^ 2 # vom Zähler und einem # x # vom Nenner:

#lim_ (x -> - oo) (sqrt (x ^ 2-9)) / (2x-6) = (sqrt ((x ^ 2) (1-9 / (x ^ 2)))) / (x (2-6 / x)) #

# = (sqrt (x ^ 2) sqrt (1-9 / (x ^ 2))) / (x (2-6 / x)) #

Hier fängt es an, interessant zu werden. Zum #x> 0 #, #sqrt (x ^ 2) # ist positiv; jedoch für #x <0 #, #sqrt (x ^ 2) # ist negativ. In mathematischer Hinsicht:

#sqrt (x ^ 2) = abs (x) # zum #x> 0 #

#sqrt (x ^ 2) = - x # zum #x <0 #

Da es sich um ein Limit bei negativer Unendlichkeit handelt, #sqrt (x ^ 2) # wird # -x #:

# = (- xsqrt (1-9 / (x ^ 2))) / (x (2-6 / x)) #

# = (- sqrt (1-9 / (x ^ 2))) / (2-6 / x) #

Jetzt können wir die Schönheit dieser Methode sehen: Wir haben eine # 9 / x ^ 2 # und # 6 / x #, von denen beide gehen werden #0# wie # x # geht zur negativen Unendlichkeit:

#lim_ (x -> - oo) = (- sqrt (1-0)) / (2-0) #

#lim_ (x -> - oo) = - 1/2 #