Antworten:
Siehe Erklärung
Erläuterung:
Das ist leicht zu sehen
# x ^ 4-18x ^ 2 + 81 = (x ^ 2) ^ 2-2 * 9 * x ^ 2 + 9 ^ 2 = 0 => (x ^ 2-9) ^ 2 = 0 #
Daher haben wir das # (x ^ 2-9) ^ 2 = 0 => x ^ 2-9 = 0 => x = 3 oder x = -3 #
Seien Sie sich dieser Wurzeln bewusst # x_1 = 3, x_2 = -3 # haben eine Vielzahl von #2#
weil wir ein Polynom vierten Grades haben.
Antworten:
#x = + -3 #
Erläuterung:
Um ein Polynom mit Grad 4 wie das hier beschriebene zu lösen, müssen Sie normalerweise eine synthetische Division durchführen und viele Theoreme und Regeln anwenden - es wird ein bisschen chaotisch. Dies ist jedoch etwas Besonderes, weil wir es tatsächlich zu einer quadratischen Gleichung machen können.
Wir machen das, indem wir es vermieten #u = x ^ 2 #. Mach dir keine Sorgen darüber wo # u # kam aus; Es ist nur etwas, das wir verwenden, um das Problem zu vereinfachen. Mit #u = x ^ 2 #wird das Problem
# u ^ 2-18u + 81 = 0 #.
Sieht das nicht besser aus? Jetzt haben wir es mit einer schönen, einfachen quadratischen Gleichung zu tun. In der Tat ist dies ein perfektes Quadrat; Mit anderen Worten, wenn Sie es berücksichtigen, bekommen Sie # (u-9) ^ 2 #. Natürlich können wir die quadratische Formel verwenden oder das Quadrat ausfüllen, um diese Gleichung zu lösen, aber normalerweise haben Sie nicht das Glück, ein quadratisches Quadrat zu haben - nutzen Sie also die Vorteile. An diesem Punkt haben wir:
# (u-9) ^ 2 = 0 #
Um zu lösen, nehmen wir die Quadratwurzel von beiden Seiten:
#sqrt ((u-9) ^ 2) = sqrt (0) #
Und das vereinfacht sich zu
# u-9 = 0 #
Zum Schluss fügen wir auf beiden Seiten 9 hinzu
#u = 9 #
Genial! Fast dort. Unser ursprüngliches Problem hat jedoch # x #s drin und unsere Antwort hat eine # u # drin. Wir müssen konvertieren #u = 9 # in #x = # etwas. Aber hab keine Angst! Erinnern wir uns zu Beginn, dass wir gesagt haben, lassen wir #u = x ^ 2 #? Nun, da haben wir unsere # u #stecken Sie es einfach wieder ein, um unser zu finden # x #. So, #u = x ^ 2 #
# 9 = x ^ 2 #
#sqrt (9) = x #
#x = + -3 # (da #(-3)^2 = 9# und #(3)^2 = 9#)
Deshalb sind unsere Lösungen #x = 3 # und #x = -3 #. Beachten Sie, dass #x = 3 # und #x = -3 # sind doppelte Wurzeln, also technisch sind alle Wurzeln #x = 3 #, #x = 3 #, #x = -3 #, #x = -3 #.
