Zwei Satelliten P_ "1" und P_ "2" drehen sich in Umlaufbahnen der Radien R und 4R. Das Verhältnis von maximalen und minimalen Winkelgeschwindigkeiten der Linie, die P_ "1" und P_ "2" verbindet, ist ??

Antworten:

#-9/5#

Erläuterung:

Nach Keplers drittem Gesetz # T ^ 2 Propto R ^ 3 impliziert Omega Propto R ^ {- 3/2} #, wenn die Winkelgeschwindigkeit des äußeren Satelliten ist #Omega#ist das des inneren #omega mal (1/4) ^ {- 3/2} = 8 omega #.

Lass uns in Erwägung ziehen # t = 0 # ein Augenblick zu sein, wenn die beiden Satelliten mit dem Mutterplaneten kollinear sind, und nehmen wir diese gemeinsame Linie als die # X # Achse. Dann die Koordinaten der beiden Planeten zur Zeit # t # sind # (R cos (8omega t), R sin (8omega t)) # und # (4R cos (Omega t), 4R Sin (Omega t)) #, beziehungsweise.

Lassen # theta # ist der Winkel, den die Linie, die die beiden Satelliten verbindet, mit dem Winkel bildet # X # Achse. Das ist leicht zu sehen

#tan theta = (4R sin (omega t) -Rsin (8 omega t)) / (4R cos (omega t) -Rcos (8 omega t)) = (4 sin (omega t) -sin (8 omega t)) / (4 cos (omega t) -cos (8 omega t)) #

Differenzierungserträge

# sec ^ 2 theta (d theta) / dt = d / dt (4 sin (omega t) - sin (8 omega t)) / (4 cos (omega t) - cos (8 omega t)) #

# = (4 cos (omega t) -cos (8 omega t)) ^ - 2 mal #

#qquad (4 cos (omega t) -cos (8 omega t)) (4 omega cos (omega t) -8 omega cos (8 omega t)) - #

#qquad (4 sin (omega t) -sin (8 omega t)) (- 4 omega sint (omega t) +8 omegasin (8 omega t)) #

Somit

(4 cos (omega t) -cos (8 omega t)) ^ 2 1 + ((4 sin (omega t) -sin (8 omega t)) / (4 cos (omega t) -cos (8 omega) t))) ^ 2 (d theta) / dt #

# = 4 omega (4 cos ^ 2 (omega t) -9 cos (omega t) cos (8 omega t) + 2 cos ^ 2 (omega t)) #

#qquad qquad + (4 sin ^ 2 (omega t) -9 sin (omega t) cos (8 omega t) + 2sin ^ 2 (omega t)) #

# = 4 omega 6-9cos (7 omega t) impliziert #

# (17 - 8 cos (7 omega t)) (d theta) / dt = 12 omega (2 - 3 cos (7 omega t)) impliziert #

# (theta) / dt = 12 omega (2 - 3 cos (7 omega t)) / (17 - 8 cos (7 omega t)) entspricht 12 omega f (cos (7 omega t)) #

Wo die funktion

#f (x) = (2-3x) / (17-8x) = 3/8 - 35/8 1 / (17-8x) #

hat die Ableitung

# f ^ '(x) = -35 / (17-8x) ^ 2 <0 #

und nimmt daher im Intervall monoton ab #-1,1#.

Somit ist die Winkelgeschwindigkeit # (d theta) / dt # ist maximal wann #cos (7 omega t) # ist minimal und umgekehrt.

So, # ((theta) / dt) _max = 12 omega (2-3 mal (-1)) / (17-8 mal (-1)) #

#qquad qquad qquad qquad = 12 omega-mal 5/25 = 12/5 omega #

# ((theta) / dt) _ "min" = 12 omega (2 - 3 mal 1) / (17 - 8 mal 1) #

#qquad qquad qquad qquad = 12 Omega-mal (-1) / 9 = -4/3 Omega #

und so ist das Verhältnis zwischen den beiden:

# 12/5 Omega: -4/3 Omega = -9: 5 #

Hinweis Die Tatsache, dass # (d theta) / dt # Wechselzeichen ist die Ursache für die sogenannte scheinbare rückläufige Bewegung