Was ist das Orthozentrum eines Dreiecks mit Ecken bei (9, 7), (4, 4) und (8, 6) #?

Antworten:

Siehe unten.

Erläuterung:

Wir nennen die Scheitelpunkte # A = (4,4) #, # B = (9,7) # und # C = (8,6) #.

Wir müssen zwei Gleichungen finden, die senkrecht zu zwei Seiten stehen und durch zwei der Scheitelpunkte gehen. Wir können die Neigung von zwei der Seiten und folglich die Neigung der zwei der senkrechten Linien finden.

Steigung von AB:

#(7-4)/(9-4)=3/5#

Neigung senkrecht dazu:

#-5/3#

Dies muss durch den Scheitelpunkt C gehen, daher lautet die Gleichung der Linie:

# y-6 = -5 / 3 (x-8) #, # 3y = -5x + 58 # 1

Steigung von BC:

#(6-7)/(8-9)=1#

Neigung senkrecht dazu:

#-1#

Dies muss durch den Knoten A gehen, daher lautet die Gleichung der Linie:

# y-4 = - (x-4) #, # y = -x + 8 # 2

Wo 1 und 2 sich schneiden, ist das Orthozentrum.

1 und 2 gleichzeitig lösen:

# 3 (-x + 8) = - 5x + 58 #

# -3x + 24 = -5x + 58 #

# -3x + 24 = 5x + 58 => x = 34/2 = 17 #

Verwendung von 2:

# y = -17 + 8 = -9 #

Orthozentrum:

#(17, -9)#

Da das Dreieck stumpf ist, befindet sich das Orthozentrum außerhalb des Dreiecks. Dies ist sichtbar, wenn Sie die Höhenlinien verlängern, bis sie sich kreuzen.

Antworten:

Orthozentrum

# x_0 = 17, y_0 = -9 #

Zirkumcenter

# x_0 = 2, y_0 = 13 #

Erläuterung:

Orthozentrum

Gegeben # p_1, p_2, p_3 # und

#vec v_ (12), vec v_ (13), vec v_ (23) # so dass

# << vec v_ (12), p_2-p_1 >> = << vec v_ (13), p_3-p_1 >> = << vec v_ (23), p_3-p_2 >> = 0 #

Diese Vektoren sind zum Beispiel leicht zu erhalten

# p_1 = (x_1, y_1) # und # p_2 = (x_2, y_2) # und dann

#vec v_ (12) = (y_1-y_2, - (x_1-x_2)) #

Jetzt haben wir

# L_1 -> p_1 + lambda_1 vec v_ (23) #

# L_2-> p_2 + lambda_2 vec v_ (13) #

# L_3-> p_3 + lambda_3 vec v_ (12) #

Diese drei Linien schneiden sich im Orthozentrum des Dreiecks

Auswahl # L_1, L_2 # wir haben

# (x_0, y_0) = "arg" (L_1 nn L_2) # oder

# p_1 + lambda_1 vec v_ (23) = p_2 + lambda_2 vec v_ (13) #

die Gleichungen geben

# {(<< vec v_ (13), vec v_ (23) >> lambda_1- << vec v_ (13), vec v_ (13) >> lambda_2 = << p_2-p_1, vec v_ (13) >>), (<< vec v_ (23), vec v_ (23) >> lambda_1- << vec v_ (23), vec v_ (13) >> lambda_2 = << p_2-p_1, vec v_ (23) >>):} #

Jetzt lösen für # lambda_1, lambda_2 # wir haben

# lambda_1 = -4, lambda_2 = -13 #

und dann

# p_0 = p_1 + lambda_1 vec v_ (23) = p_2 + lambda_2 vec v_ (13) = (17, -9) #

Zirkumcenter

Die Umfangsgleichung ist gegeben durch

# C-> x ^ 2 + y ^ 2-2x x_0-2y y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0 #

jetzt wenn # {p_1, p_2, p_3} in C # wir haben

# {(x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2-2x_1 x_0-2y_1 y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0), (x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2-2x_2 x_0-2y_2 y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0), (x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2-2x_3 x_0-2y_3 y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0):} #

das erste vom zweiten subtrahieren

# x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2- (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2) -2x_0 (x_2-x_1) -2y_0 (y_2-y_1) = 0 #

das erste vom dritten subtrahieren

# x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2- (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2) -2x_0 (x_3-x_1) -2y_0 (y_3-y_1) = 0 #

das System von Gleichungen geben

# ((x_2-x_1, y_2-y_1), (x_3-x_1, y_3-y_1)) ((x_0), (y_0)) = 1/2 ((x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2- (x_1 ^ 2 +) y_1 ^ 2)), (x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2- (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2))) #

Ersetzen wir nun die angegebenen Werte

# x_0 = 2, y_0 = 13 #

Beigefügt ein Diagramm, das das Orthozentrum (rot) und das Umkreiszentrum (blau) zeigt.