Welche lustige, nützliche, mathematische Tatsache wissen Sie, die normalerweise nicht in der Schule unterrichtet wird?

Antworten:

Wie beurteilen Sie "Türme der Exponenten", wie z #2^(2^(2^2))#und wie man die letzte Ziffer von # 2 ^ n, # # ninNN #.

Erläuterung:

Um diese "Türme" zu bewerten, beginnen wir oben und arbeiten uns nach unten.

So:

#2^(2^(2^2))=2^(2^4)=2^16=65,536#

Auf einer ähnlichen, aber etwas verwandten Note weiß ich auch, wie ich die letzten Ziffern von errechnen kann #2# auf jeden natürlichen Exponenten angehoben. Die letzte Ziffer von #2# auf etwas angehoben wird immer zwischen vier Werten: #2,4,8,6#.

#2^1=2,# #2^2=4,# #2^3=8,# #2^4=16#

#2^5=32,# #2^6=64,# #2^7=128,# #2^8=256#

Wenn Sie also die letzte Ziffer von suchen möchten # 2 ^ n #, finden Sie den Ort, an dem sich der Zyklus befindet, und Sie werden die letzte Ziffer kennen.

Antworten:

Ob #n> 0 # und #ein# ist eine Annäherung an #sqrt (n) #, dann:

#sqrt (n) = a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + …))))))

woher #b = n-a ^ 2 #

Erläuterung:

Angenommen, wir möchten die Quadratwurzel einer Zahl ermitteln #n> 0 #.

Außerdem möchten wir, dass das Ergebnis eine Art fortlaufender Bruch ist, der sich bei jedem Schritt wiederholt.

Versuchen:

#sqrt (n) = a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + …))))))

#Farbe (weiß) (sqrt (n)) = a + b / (a + a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + …))))) #

#color (weiß) (sqrt (n)) = a + b / (a + sqrt (n)) #

Subtrahieren #ein# von beiden Enden zu bekommen:

#sqrt (n) -a = b / (a + sqrt (n)) #

Beide Seiten mit multiplizieren #sqrt (n) + a # bekommen:

#b = (sqrt (n) -a) (sqrt (n) + a) = n-a ^ 2 #

Also wenn # a ^ 2 # ist etwas weniger als # n #, dann # b # wird klein sein und der fortgesetzte Bruchteil wird schneller zusammenlaufen.

Zum Beispiel, wenn wir haben # n = 28 # und wähle # a = 5 #dann bekommen wir:

#b = n-a ^ 2 = 28-5 ^ 2 = 28-25 = 3 #

So:

#sqrt (28) = 5 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3 / (10 + …)))))

was uns Annäherungen gibt:

#sqrt (28) ~~ 5 + 3/10 = 5,3 #

#sqrt (28) ~ 5 + 3 / (10 + 3/10) = 545/103 ~~ 5,29126 #

#sqrt (28) ~ 5 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3/10)) = 5609/1060 ~~ 5,9915094 #

Ein Taschenrechner sagt es mir #sqrt (28) ~~ 5.291502622 #

Dies konvergiert also nicht besonders schnell.

Alternativ könnten wir uns setzen # n = 28 # und # a = 127/24 # finden:

#b = n-a ^ 2 = 28-127 ^ 2/24 ^ 2 = 28-16129 / 576 = (16128-16129) / 576 = -1 / 576 #

So:

#sqrt (28) = 127 / 24- (1/576) / (127 / 12- (1/576) / (127 / 12- (1/576) / (127/12 -…))) #

Näherungswerte geben:

#sqrt (28) ~~ 127/24 = 5,291 bar (6) #

#sqrt (28) ~~ 127 / 24- (1/576) / (127/12) = 32257/6096 ~~ 5.29150262467 #

Das geht viel schneller zusammen.

Antworten:

Sie können Näherungen an Quadratwurzeln anhand einer rekursiv definierten Sequenz finden.

Erläuterung:

#Farbe weiß)()#

Die Methode

Gegeben eine positive ganze Zahl # n # Das ist kein perfektes Quadrat:

• Lassen #p = floor (sqrt (n)) # die größte positive ganze Zahl sein, deren Quadrat nicht überschreitet # n #.

• Lassen #q = n-p ^ 2 #

• Definieren Sie eine Folge von Ganzzahlen durch:

  # {(a_1 = 1), (a_2 = 2p), (a_ (i + 2) = 2pa_ (i + 1) + qa_i "für" i> = 1):} #

Dann tendiert das Verhältnis zwischen aufeinanderfolgenden Termen der Sequenz zu # p + sqrt (n) #

#Farbe weiß)()#

Beispiel

Lassen # n = 7 #.

Dann #p = Stock (Quadrat (7)) = 2 #, schon seit #2^2=4 < 7# aber #3^2 = 9 > 7#.

Dann # q = n-p ^ 2 = 7-2 ^ 2 = 3 #

So beginnt unsere Sequenz:

#1, 4, 19, 88, 409, 1900, 8827, 41008,…#

Theoretisch sollte das Verhältnis zwischen aufeinander folgenden Begriffen tendenziell sein # 2 + sqrt (7) #

Mal schauen:

#4/1 = 4#

#19/4 = 4.75#

#88/19 ~~ 4.63#

#409/88 ~~ 4.6477#

#1900/409 ~~ 4.6455#

#8827/1900 ~~ 4.645789#

#41008/8827 ~~ 4.645746#

Beachten Sie, dass # 2 + sqrt (7) ~~ 4.645751311 #

#Farbe weiß)()#

Wie es funktioniert

Angenommen, wir haben eine Sequenz, die durch gegebene Werte von definiert ist # a_1, a_2 # und eine Regel:

#a_ (n + 2) = 2p a_ (n + 1) + q a_n #

für einige Konstanten # p # und # q #.

Betrachten Sie die Gleichung:

# x ^ 2-2px-q = 0 #

Die Wurzeln dieser Gleichung sind:

# x_1 = p + sqrt (p ^ 2 + q) #

# x_2 = p-sqrt (p ^ 2 + q) #

Dann beliebige Reihenfolge mit allgemeinem Begriff # Ax_1 ^ n + Bx_2 ^ n # wird die von uns angegebene Wiederholungsregel erfüllen.

Nächste lösen:

# {(Ax_1 + Bx_2 = a_1), (Ax_1 ^ 2 + Bx_2 ^ 2 = a_2):} #

zum #EIN# und # B #.

Wir finden:

# a_1x_2-a_2 = Achse_1 (x_2-x_1) #

# a_1x_1-a_2 = Bx_2 (x_1-x_2) #

und daher:

# A = (a_1x_2-a_2) / (x_1 (x_2-x_1)) #

# B = (a_1x_1-a_2) / (x_2 (x_1-x_2)) #

Also mit diesen Werten von # x_1, x_2, A, B # wir haben:

#a_n = Ax_1 ^ n + Bx_2 ^ n #

Ob #q <3p ^ 2 # dann #abs (x_2) <1 # und das Verhältnis zwischen aufeinanderfolgenden Begriffen tendiert dazu # x_1 = p + sqrt (p ^ 2 + q) #

Antworten:

Modulare Aufteilung

Erläuterung:

Die modulare Unterteilung ist genauso wie die Unterteilung, es sei denn, die Antwort ist der Rest anstelle des tatsächlichen Werts. Eher als das #-:# Symbol verwenden Sie das #%# Symbol.

Zum Beispiel normalerweise, wenn Sie lösen sollten #16-:5# du würdest bekommen #3# Rest #1# oder #3.2#. Durch die modulare Aufteilung #16%5=1#.

Antworten:

Quadrate mit Summierungen auswerten

Erläuterung:

Normalerweise sollten Sie Quadrate wie kennen #5^2=25#. Wenn jedoch die Zahlen größer werden, z #25^2#Es wird schwieriger, es aus dem Kopf heraus zu erfahren.

Mir wurde klar, dass Quadrate nach einer Weile nur Summen von ungeraden Zahlen sind.

Was ich damit meine ist:

#sum_ (n = 0) ^ k 2n + 1 # woher # k # ist der Basiswert minus #1#

So #5^2# könnte geschrieben werden als:

#sum_ (n = 0) ^ 4 2n + 1 #

Das wird dir geben:

#1+3+5+7+9#

Das ist in der Tat #25#.

Da erhöhen sich die Zahlen immer um #2#Ich könnte dann die erste und letzte Zahl addieren und dann mit multiplizieren # k / 2 #.

So für #25^2#

#sum_ (n = 0) ^ 24 2n + 1 = 1 + 3 + … + 49 #

Also kann ich es einfach tun #(49+1)(25/2)# und bekomme #25^2# welches ist #625#.

Es ist nicht wirklich praktisch, aber es ist interessant zu wissen.

#Farbe weiß)()#

Bonus

Wissend, dass:

# n ^ 2 = Überkreuzung (1 + 3 + 5 + … + (2n-1)) ^ n Ausdrücke = ((1+ (2n-1)) / 2) ^ 2 #

erlaubt es uns, einige Probleme bezüglich der Unterschiede der Quadrate zu lösen.

Was sind zum Beispiel alle Lösungen in positiven ganzen Zahlen? #m, n # von # m ^ 2-n ^ 2 = 40 # ?

Dies reduziert das Ermitteln der Summen aufeinander folgender ungerader Ganzzahlen #40#…

# 40 = Überschreitung (19 + 21) ^ "Durchschnitt 20" #

#Farbe (weiß) (40) = (1 + 3 + … + 21) - (1 + 3 + … + 17) #

#Farbe (weiß) (40) = ((1 + 21) / 2) ^ 2 + ((1 + 17) / 2) ^ 2 #

#Farbe (weiß) (40) = 11 ^ 2-9 ^ 2 #

# 40 = Überschreitung (7 + 9 + 11 + 13) ^ "Durchschnitt 10" #

#Farbe (weiß) (40) = (1 + 3 + … + 13) - (1 + 3 + 5) #

#Farbe (weiß) (40) = ((1 + 13) / 2) ^ 2 - ((1 + 5) / 2) ^ 2 #

#Farbe (weiß) (40) = 7 ^ 2-3 ^ 2 #