Antworten:
Es ist genau eine der Wurzeln von #T_ {44} (x) = -T_ {46} (x) # woher #T_n (x) # ist der # n #das Chebyshev-Polynom der ersten Art. Das ist eine der sechsundvierzig Wurzeln von:
Xx 44 - 96757023244288 x ^ 42 + 495879744126976 x ^ 40 - 1572301627719680 x ^ 38 +454150138396672 x ^ 36 - 5579780992794624 x ^ 34 + 6864598984554544 x ^ 34 - + 1423506847825920 x ^ 24 - 541167892561920 x ^ 22 + 162773155184640 x ^ 20 - 38370843033600 x ^ 18 + 6988974981120 x ^ 16 - 963996549120 x ^ 14 + 97905899520 x ^ 10 - 7038986450 x ^ 10 - 703898640 + 155848 x ^ 4 - 968 x ^ 2 + 1 = - (35184372088832 x ^ 46 - 404620279021568 x ^ 44 + 2174833999740928 x ^ 42 - 7257876254949376 x ^ 40 + 16848641306132480 x ^ 38 - 288892554538440 x 448 28889255454404 38958828003262464 x ^ 32 + 31782201792135168 x ^ 30 - 20758645314682880 x ^ 28 + 10898288790208512 x ^ 26 - 4599927086776320 x ^ 24 + 1555857691115520 x ^ 22 - 418884762992640 x ^ 20 + 88826010009600 x ^ 18 - 14613311324160 x ^ 16 + 1826663915520 x ^ 14 - 168586629120 x ^ 12 + 11038410240 x ^ 10 - 484140800 x ^ 8 + 13034560 x ^ 6 - 186208 x ^ 4 + 1058 x ^ 2 - 1) #
Erläuterung:
# 58 ^ circ # ist kein Vielfaches von # 3 ^ circ #. Vielfache von # 1 ^ circ # das sind keine Vielfachen von # 3 ^ circ # sind nicht mit Lineal und Kompass konstruierbar, und ihre Triggerfunktionen sind nicht das Ergebnis einer Zusammensetzung ganzer Zahlen, die Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Quadratwurzelung verwenden.
Das bedeutet nicht, dass wir keinen Ausdruck für aufschreiben können #cos 58 ^ circ #. Nehmen wir das Gradzeichen als Faktor an # {2pi} / 360 #.
# e ^ {i 58 ^ circ} = cos 58 ^ circ + i sin 58 ^ circ #
#e ^ {- i 58 ^ circ} = cos 58 ^ circ - i sin 58 ^ circ #
# e ^ {i 58 ^ circ} + e ^ {- i 58 ^ circ} = 2 cos 58 ^ circ #
#cos 58 ^ circ = 1/2 (e ^ {i 58 ^ circ} + e ^ {- i 58 ^ circ}) #
Nicht so hilfreich
Wir können versuchen, eine Polynomgleichung aufzuschreiben, deren Wurzel ist #cos 58 ^ circ # aber es wird wahrscheinlich zu groß sein, um zu passen.
# theta = 2 ^ circ # ist #180#th eines Kreises. Schon seit #cos 88 ^ circ = -cos 92 ^ circ # das bedeutet #cos 2 ^ circ # erfüllt
#cos (44 theta) = -cos (46 theta) #
#cos (180 ^ circ -44 theta) = cos (46 theta) #
Lass uns das lösen für # theta # zuerst. #cos x = cos a # hat Wurzeln # x = pm a + 360 ^ circ k, # ganze Zahl # k #.
# 180 ^ zirka -46 theta = pm 44 theta - 360 ^ zirk k #
# 46 theta pm 44 theta = 180 ^ circ + 360 ^ circ k #
#theta = 2 ^ circ + 4 ^ circ k oder theta = 90 ^ circ + 180 ^ circ k #
Das sind viele Wurzeln, und wir sehen # theta = 58 ^ circ # unter ihnen.
Die Polynome #T_n (x) #, genannt die Chebyshev-Polynome der ersten Art, befriedigen #cos (n theta) = T_n (cos theta) #. Sie haben ganzzahlige Koeffizienten. Wir kennen die ersten aus den Doppel- und Dreifachwinkelformeln:
#cos (0 theta) = 1 Quad Quad # so# Quad Quad T_0 (x) = 1 #
#cos (1 Theta) = cos Theta Quad Quad # so# Quad Quad T_1 (x) = x #
#cos (2 Theta) = 2cos ^ 2 Theta - 1 Quad Quad # so # Quad Quad T_2 (x) = 2x ^ 2-1 #
#cos (3 Theta) = 4cos ^ 3 Theta - 3 cos Theta Quad Quad # so # Quad Quad T_3 (x) = 4x ^ 4-3x #
Es gibt eine schöne Rekursionsbeziehung, die wir überprüfen können:
# T_ {n + 1} (x) = 2x T_ {n} (x) - T_ {n-1} (x) #
Theoretisch können wir diese also für so groß generieren # n # wie es uns wichtig ist.
Wenn wir lassen # x = cos theta, # unsere Gleichung
#cos (44 theta) = -cos (46 theta) #
wird
#T_ {44} (x) = -T_ {46} (x) #
Wolfram Alpha freut sich, uns zu sagen, was das ist. Ich schreibe die Gleichung nur um das mathematische Rendering zu testen:
Xx 44 - 96757023244288 x ^ 42 + 495879744126976 x ^ 40 - 1572301627719680 x ^ 38 +454150138396672 x ^ 36 - 5579780992794624 x ^ 34 + 6864598984554544 x ^ 34 - + 1423506847825920 x ^ 24 - 541167892561920 x ^ 22 + 162773155184640 x ^ 20 - 38370843033600 x ^ 18 + 6988974981120 x ^ 16 - 963996549120 x ^ 14 + 97905899520 x ^ 10 - 7038986450 x ^ 10 - 703898640 + 155848 x ^ 4 - 968 x ^ 2 + 1 = - (35184372088832 x ^ 46 - 404620279021568 x ^ 44 + 2174833999740928 x ^ 42 - 7257876254949376 x ^ 40 + 16848641306132480 x ^ 38 - 288892554538440 x 448 28889255454404 38958828003262464 x ^ 32 + 31782201792135168 x ^ 30 - 20758645314682880 x ^ 28 + 10898288790208512 x ^ 26 - 4599927086776320 x ^ 24 + 1555857691115520 x ^ 22 - 418884762992640 x ^ 20 + 88826010009600 x ^ 18 - 14613311324160 x ^ 16 + 1826663915520 x ^ 14 - 168586629120 x ^ 12 + 11038410240 x ^ 10 - 484140800 x ^ 8 + 13034560 x ^ 6 - 186208 x ^ 4 + 1058 x ^ 2 - 1) #
Ja, diese Antwort wird dank Sokratisch lang. Anway ist eine der Wurzeln dieses Polynoms 46. Grades mit ganzzahligen Koeffizienten # cos 58 ^ circ #.
