Was ist die Grenze, wenn sich x der Unendlichkeit von (1 + a / x) ^ (bx) nähert?

Durch die Verwendung des Logarithmus und der l'Hopital-Regel

#lim_ {x bis infty} (1 + a / x) ^ {bx} = e ^ {ab} #.

Durch die Substitution # t = a / x # oder gleichwertig # x = a / t #, # (1 + a / x) ^ {bx} = (1 + t) ^ {{ab} / t} #

Durch die Verwendung logarithmischer Eigenschaften

# = e ^ {ln (1 + t) ^ {{ab} / t}} = e ^ {{ab} / t ln (1 + t)} = e ^ {ab {ln (1 + t) } / t} #

Nach der Regel von h'Hopital

#lim_ {t bis 0} {ln (1 + t)} / {t} = lim_ {t bis 0} {1 / {1 + t}} / {1} = 1 #

Daher, #lim_ {x bis infty} (1 + a / x) ^ {bx} = e ^ {ab lim_ {t bis 0} {ln (1 + t)} / {t}} = e ^ {ab} #

(Hinweis: #t bis 0 # wie #x zu infty #)