Antworten:
# {: ("Kritischer Punkt", "Fazit"), ((0,0,0), "Sattel"):} #
Erläuterung:
Die Theorie, um die Extreme von zu identifizieren
- Lösen Sie gleichzeitig die kritischen Gleichungen
# (teilweises f) / (teilweises x) = (teilweises f) / (teilweises y) = 0 # (dh# f_x = f_y = 0 # ) - Bewerten
#f_ (x x), f_ (yy) und f_ (xy) (= f_ (yx)) # an jedem dieser kritischen Punkte. Also bewerten# Delta = f_ (x x) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 # an jedem dieser Punkte - Bestimmen Sie die Art der Extrema.
# {: (Delta> 0, "Es gibt ein Minimum, wenn" f_ (xx) <0), (, "und ein Maximum, wenn" f_ (yy)> 0), (Delta <0, "es gibt einen Sattelpunkt")), (Delta = 0, "Weitere Analyse erforderlich"):} #
Also haben wir:
# f (x, y) = xy (e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2)) #
# "" = xye ^ (y ^ 2) - xye ^ (x ^ 2) #
Lassen Sie uns die ersten partiellen Ableitungen finden:
# (partielles f) / (partielles x) = ye ^ (y ^ 2) + {(-xy) (2xe ^ (x ^ 2)) + (-y) (e ^ (x ^ 2))} #
# = ye ^ (y ^ 2) -2x ^ 2ye ^ (x ^ 2) -ye ^ (x ^ 2) #
# (partielles f) / (partielles y) = {(xy) (2ye ^ (y ^ 2)) + (x) (e ^ (y ^ 2))} - xe ^ (x ^ 2) #
# = 2xy ^ 2e ^ (y ^ 2) + xe ^ (y ^ 2) - xe ^ (x ^ 2) #
Unsere kritischen Gleichungen sind also:
# ye ^ (y ^ 2) -2x ^ 2ye ^ (x ^ 2) -ye ^ (x ^ 2) = 0 => y (e ^ (y ^ 2) -2x ^ 2e ^ (x ^ 2) - e ^ (x ^ 2)) = 0 #
# 2xy ^ 2e ^ (y ^ 2) + xe ^ (y ^ 2) - xe ^ (x ^ 2) = 0 => x (2y ^ 2e ^ (y ^ 2) + e ^ (y ^ 2) - e ^ (x ^ 2)) = 0 #
Aus diesen Gleichungen haben wir:
# y = 0 # oder# e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2) = 2x ^ 2e ^ (x ^ 2) #
# x = 0 # oder# e ^ (y ^ 2) - e ^ (x ^ 2) = -2y ^ 2e ^ (y ^ 2) #
Und die einzige gleichzeitige Lösung ist
Und so haben wir ein kritischer Punkt am Ursprung
Schauen wir uns nun die zweiten partiellen Ableitungen an, um die Art des kritischen Punktes zu bestimmen (ich zitiere nur diese Ergebnisse):
# (partiell ^ 2f) / (partiell x ^ 2) = -4x ^ 3ye ^ (x ^ 2) -6xy ^ (x ^ 2) #
# (teilweise ^ 2f) / (teilweise y ^ 2) = 4xy ^ 3e ^ (y ^ 2) + 6xy ^ (y ^ 2) #
# (partiell ^ 2f) / (partielles x partielles y) = e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2) -2x ^ 2e ^ (x ^ 2) + 2y ^ 2e ^ (y ^ 2) (= (partiell ^ 2f) / (partielles y partielles x)) #
Und wir müssen berechnen:
# Delta = (partiell ^ 2f) / (partiell x ^ 2) (partiell ^ 2f) / (partiell y ^ 2) - ((partiell ^ 2f) / (partiell x partiell y)) ^ 2 #
an jedem kritischen Punkt. Die zweiten partiellen Ableitungswerte
# {: ("Kritischer Punkt", (partiell ^ 2f) / (partiell x ^ 2), (partiell ^ 2f) / (partiell y ^ 2), (partiell ^ 2f) / (partiell x partiell y), Delta, "Schlussfolgerung"), ((0,0,0), 0,0,0, = 0, "incluclusive"):} #
Nach all dieser Arbeit ist es ziemlich enttäuschend, ein inklusives Ergebnis zu erhalten, aber wenn wir das Verhalten um den kritischen Punkt herum untersuchen, können wir leicht feststellen, dass es sich um einen Sattelpunkt handelt.
Wir können diese kritischen Punkte sehen, wenn wir eine 3D-Darstellung betrachten:
Was sind die Extrema und Sattelpunkte von f (x) = 2x ^ 2 lnx?
Der Definitionsbereich von: f (x) = 2x ^ 2lnx ist das Intervall x in (0, + oo). Bewerten Sie die erste und die zweite Ableitung der Funktion: (df) / dx = 4xlnx + 2x ^ 2 / x = 2x (1 + 2lnx) (d ^ 2f) / dx ^ 2 = 2 (1 + 2lnx) + 2x * 2 / x = 2 + 4lnx + 4 = 6 + lnx Die kritischen Punkte sind die Lösungen von: f '(x) = 0 2x (1 + 2lnx) = 0 und als x> 0: 1 + 2lnx = 0 lnx = -1 / 2 x = 1 / sqrt (e) In diesem Punkt: f '' (1 / sqrte) = 6-1 / 2 = 11/2> 0, so dass der kritische Punkt ein lokales Minimum ist. Die Sattelpunkte sind die Lösungen von: f '' (x) = 0 6 + lnx = 0 lnx = -6 x = 1 / e ^ 6 und da
Was sind die Extrema und Sattelpunkte von f (x, y) = 2x ^ (2) + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2 - y / x?
Diese Funktion hat keine stationären Punkte (sind Sie sicher, dass f (x, y) = 2x ^ 2 + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2 y / x derjenige ist, den Sie studieren wollten ?!). Gemäß der am weitesten verbreiteten Definition von Sattelpunkten (stationäre Punkte, die keine Extrema sind) suchen Sie nach stationären Punkten der Funktion in ihrem Bereich D = (x, y) in RR ^ 2 = RR ^ 2 setminus {(0 , y) in RR ^ 2}. Wir können nun den für f angegebenen Ausdruck auf folgende Weise neu schreiben: f (x, y) = 7x ^ 2 + x ^ 2y ^ 2-y / x Der Weg zu ihrer Identifizierung besteht darin, nach den Punkten zu suchen, die den G
Was sind die Extrema und Sattelpunkte von f (x, y) = 2x ^ 3 + xy ^ 2 + 5x ^ 2 + y ^ 2?
{: ("Kritischer Punkt", "Schlussfolgerung"), ((0,0), "min"), ((-1, -2), "Sattel"), ((-1,2), "Sattel" ), ((-5 / 3,0), "max"):} Die Theorie zur Identifizierung der Extrema von z = f (x, y) lautet: Lösen Sie gleichzeitig die kritischen Gleichungen (partielles f) / (partielles x) = (partielles f) / (partielles y) = 0 (dh z_x = z_y = 0) Bewerten Sie an jedem dieser kritischen Punkte f_ (xx), f_ (yy) und f_ (xy) (= f_ (yx)) . Berechnen Sie daher an jedem dieser Punkte Delta = f_ (x x) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2. Bestimmen Sie die Art der Extrema. {: (Delta> 0, "