Zwei Zahlen haben einen Unterschied von 20. Wie finden Sie die Zahlen, wenn die Summe ihrer Quadrate ein Minimum ist?

Antworten:

#-10,10#

Erläuterung:

Zwei Zahlen # n, m # so dass # n-m = 20 #

Die Summe ihrer Quadrate ergibt sich aus

# S = n ^ 2 + m ^ 2 # aber #m = n-20 # so

# S = n ^ 2 + (n-20) ^ 2 = 2n ^ 2-40n + 400 #

Wie wir sehen können, #S (n) # ist eine Parabel mit einem Minimum an

# d / (dn) S (n_0) = 4n_0-40 = 0 # oder bei # n_0 = 10 #

Die Zahlen sind

# n = 10, m = n-20 = -10 #

Antworten:

10 und -10

Ohne Kalkül gelöst.

Erläuterung:

In Cesareos Antwort # d / (dn) S (n_0) # ist Kalkül. Mal sehen, ob wir das ohne Kalkül lösen können.

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#color (magenta) ("Die erste Zahl sei" x) #

Lass die zweite Zahl sein # x + 20 #

einstellen # "" y = x ^ 2 + (x + 20) ^ 2 #

# y = x ^ 2 + x ^ 2 + 40x + 400 #

# y = 2x ^ 2 + 40x + 400 larr "" y "ist die Summe ihrer Quadrate" #

#color (red) ("Wir müssen den Wert von x finden, der den Mindestwert ergibt") # #color (rot) ("von" y) #

Diese Gleichung ist eine quadratische und als # x ^ 2 # Begriff ist positiv, wenn seine allgemeine Form von Form ist # uu #. Somit ist der Scheitelpunkt der Mindestwert für # y #

Schreiben als # y = 2 (x ^ 2 + 20x) + 400 #

Was folgt, ist ein Teil des Prozesses zur Fertigstellung des Quadrats.

Betrachten Sie die 20 von # 20x #

#color (magenta) ("Dann ist die erste Zahl:" x _ ("Scheitelpunkt") = (- 1/2) xx20 = -10) #

Also ist die erste Zahl # x = -10 #

Die zweite Nummer ist # "" x + 20 = -10 + 20 = 10 #

# "" color (green) (bar (ul (| color (white) (2/2))) Die beiden Zahlen sind: -10 und 10 "|)))