X (P (x) x (x)) xP (x) xx (x) x (P (x) x (x)) xP (x) xx (x ). Helfen Sie mir bitte mit der ersten Aussage?

Um diese Aussagen zu verstehen, müssen wir zuerst die verwendete Notation verstehen.

• # AA # - für alle - Dieses Symbol bedeutet, dass für jedes Beispiel innerhalb eines Satzes etwas gilt. Wenn wir also eine Variable hinzufügen # x #, # AAx # bedeutet, dass eine Aussage für jeden möglichen Wert oder Artikel gilt, den wir ersetzen könnten # x #.

• #P (x), Q (x) # - Vorschlag - Dies sind logische Vorschläge bezüglich # x #das heißt, sie repräsentieren Aussagen über # x # welche entweder wahr oder falsch für ein bestimmtes sind # x #.

• # # - und - Dieses Symbol ermöglicht die Kombination mehrerer Vorschläge. Das kombinierte Ergebnis ist wahr, wenn beide Sätze wahr und andernfalls falsch sind.

• # # - oder - Dieses Symbol ermöglicht auch die Kombination mehrerer Vorschläge. Das kombinierte Ergebnis ist falsch, wenn beide Sätze falsch und andernfalls wahr sind.

• # # - dann und nur dann, wenn - Dieses Symbol ermöglicht auch die Kombination mehrerer Vorschläge. Das kombinierte Ergebnis ist wahr, wenn beide Sätze den gleichen Wahrheitswert für alle zurückgeben # x #und sonst falsch.

Damit können wir nun die Aussagen übersetzen. Die erste Aussage, direkt formuliert, würde wie "für alle x, P von x und Q von x wenn und nur dann, wenn für alle x, P von x und für alle x, Q von x" klingen.

Einige geringfügige Ergänzungen und Modifikationen machen es etwas verständlicher.

"Für alle x, P und Q gilt für x, und nur dann, wenn P für alle x gilt und Q für alle x ist."

Diese Aussage ist eine Tautologie, das heißt, unabhängig davon, was wir durch P oder Q ersetzen. Wir können das zeigen, indem wir zeigen, dass der Satz vor dem den folgenden impliziert und umgekehrt.

Ausgehend von der vorherigen Aussage haben wir das für jeden # x #, #P (x) Q (x) # ist wahr. Nach unserer obigen Definition bedeutet dies für jeden # x #, #P (x) # ist wahr und #Q (x) # ist wahr. Dies impliziert das für jeden # x #, #P (x) # ist wahr und für jeden # x #, #Q (x) # ist wahr, das ist die Aussage, die nach dem erscheint.

Wenn wir von der Aussage ausgehen, die nach dem erscheint, wissen wir das für alle # x #, #P (x) # ist wahr und für jeden # x #, #Q (x) # ist wahr. Dann für alle # x #, #P (x) # und #Q (x) # sind beide wahr und bedeuten für alle # x #, #P (x) Q (x) # ist wahr. Dies beweist, dass die erste Aussage immer richtig ist.

Die zweite Aussage ist falsch. Ohne den gesamten oben beschriebenen Prozess zu durchlaufen, können wir einfach zeigen, dass die beiden Sätze auf beiden Seiten des nicht immer den gleichen Wahrheitswert haben. Nehmen wir zum Beispiel an, dass dies zur Hälfte möglich ist # x #, #P (x) # ist wahr und #Q (x) # ist falsch und für die andere Hälfte #Q (x) # ist wahr und #P (x) # ist falsch.

In diesem Fall wie für alle # x #, entweder #P (x) # oder #Q (x) # ist wahr, der Satz #AAx (P (x) Q (x)) # ist wahr (siehe die Beschreibungen von oben). Aber weil es Werte für gibt # x # für was #P (x) # ist falsch, der Satz #AAxP (x) # ist falsch. Ähnlich, #AAxQ (x) # ist auch falsch, was bedeutet #AAxP (x) AAxQ (x) # ist falsch.

Da die beiden Sätze unterschiedliche Wahrheitswerte haben, garantiert die Wahrheit des einen offensichtlich nicht die Wahrheit des anderen, und so führt die Verbindung zu zu einem neuen Satz, der falsch ist.