Was sind die absoluten Extrema von f (x) = 2xsin ^ 2x + xcos2x in [0, pi / 4]?

Antworten:

absolute max: # (pi / 4, pi / 4) #

absolute min: #(0, 0)#

Erläuterung:

Gegeben: #f (x) = 2x sin ^ 2x + x cos2x in 0, pi / 4 #

Finden Sie die erste Ableitung mithilfe der Produktregel zweimal.

Produktregel: # (uv) '= uv' + v u '#

Lassen #u = 2x; "" u '= 2 #

Lassen #v = sin ^ 2x = (sin x) ^ 2; "" v '= 2 sin x cos x #

#f '(x) = 2x2 sin x cos x + 2sin ^ 2x + … #

Für die zweite Hälfte der Gleichung:

Lassen #u = x; "" u '= 1 #

Lassen #v = cos (2x); "" v '= (- sin (2x)) 2 = -2sin (2x) #

#f '(x) = 2x2 sin x cos x + 2sin ^ 2x + x (-2sin (2x)) + cos (2x) (1) #

Vereinfachen:

#f '(x) = abbrechen (2x sin (2x)) + 2sin ^ 2x abbrechen (-2x sin (2x)) + cos (2x) #

#f '(x) = 2 sin ^ 2x + cos (2x) #

#f '(x) = 2 sin ^ 2x + cos ^ 2x - sin ^ 2x #

#f '(x) = sin ^ 2x + cos ^ 2x #

Die pythagoreische Identität # sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #

Das heißt, es gibt keine kritischen Werte, wenn #f '(x) = 0 #

Absolutes Maximum und Minimum werden an den Endpunkten des Funktionsintervalls gefunden.

Testendpunkte der Funktion:

#f (0) = 0; "Absolutes Minimum:" (0, 0) #

#f (pi / 4) = 2 * pi / 4 sin ^ 2 (pi / 4) + pi / 4 * cos (2 * pi / 4) #

#f (pi / 4) = pi / 2 (1 / sqrt (2)) ^ 2 + pi / 4 * cos (pi / 2) #

#f (pi / 4) = pi / 2 * 1/2 + pi / 4 * 0 #

#f (pi / 4) = pi / 4; "Absolutes Maximum:" (pi / 4, pi / 4) #