Was ist die Quadratwurzel von 67?

Antworten:

#67# ist eine Primzahl und kann nicht faktorisiert werden ……

Erläuterung:

………und somit #67^(1/2)# #=# # + - sqrt67 #.

Antworten:

#sqrt (67) ~~ 34313/4192 ~~ 8.185353 #

Erläuterung:

#67# ist eine Primzahl, hat also insbesondere keine quadratischen Faktoren. Ihre Quadratwurzel ist also irrational und nicht vereinfachbar.

Es gibt verschiedene Methoden, um rationale Näherungen zu finden.

Hier ist eine Methode, die auf der babylonischen Methode basiert …

Um die Quadratwurzel einer Zahl zu finden # n #Wählen Sie eine erste Annäherung # p_0 / q_0 # woher # p_0, q_0 # sind ganze Zahlen.

Wenden Sie dann die folgenden Formeln wiederholt an, um bessere Näherungen zu erhalten:

# {(p_ (i + 1) = p_i ^ 2 + n q_i ^ 2), (q_ (i + 1) = 2 p_i q_i):} #

In unserem Beispiel sei #n = 67 #, # p_0 = 8 # und # q_0 = 1 #, schon seit #8^2 = 64# ist ganz in der Nähe #67#. Dann:

# {(p_1 = p_0 ^ 2 + n q_0 ^ 2 = 8 ^ 2 + 67 * 1 ^ 2 = 64 + 67 = 131) (q_1 = 2 p_0 q_0 = 2 * 8 * 1 = 16):} #

# {(p_2 = p_1 ^ 2 + n q_1 ^ 2 = 131 ^ 2 + 67 * 16 ^ 2 = 17161 + 17152 = 34313), (q_2 = 2 p_1 q_1 = 2 * 131 * 16 = 4192):} #

Wenn wir hier aufhören, bekommen wir:

#sqrt (67) ~~ 34313/4192 ~~ 8.185353 #

was genau ist #6# Nachkommastellen.