Wie für inte ^ xcosxdx lösen?

Antworten:

#int e ^ x cos (x) dx = 1 / 2e ^ x (sin (x) + cos (x)) + C #

Erläuterung:

# I = int e ^ x cos (x) "d" x #

Wir werden die Integration nach Teilen verwenden, was das besagt #int u "d" v = uv-int v "d" u #.

Verwenden Sie die Integration von Teilen mit # u = e ^ x #, # du = e ^ x "d" x #, # "d" v = cos (x) "d" x #, und # v = sin (x) #:

# I = e ^ xsin (x) -int e ^ xsin (x) "d" x #

Verwenden Sie die Integration von Teilen erneut zum zweiten Integral, mit # u = e ^ x #, # "d" u = e ^ x "d" x #, # "d" v = sin (x) "d" x #, und # v = -cos (x) #:

# I = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) -int e ^ xcos (x) "d" x #

Nun erinnern wir uns, wir haben definiert # I = int e ^ x cos (x) "d" x #. Daher wird die obige Gleichung zu der folgenden (Erinnern an das Hinzufügen einer Integrationskonstante):

# I = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) -I + C #

# 2I = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) + C = e ^ x (sin (x) + cos (x)) + C #

# I = 1 / 2e ^ x (sin (x) + cos (x)) + C #

Antworten:

Siehe unten.

Erläuterung:

Verwendung der Identität von de Moivre

# e ^ (ix) = cos x + i sin x # wir haben

#int e ^ x cos x dx = "Re" int e ^ x (cos x + i sin x) dx = "Re" int e ^ (x + ix) dx #

aber #int e ^ ((1 + i) x) dx = 1 / (1 + i) e ^ ((1 + i) x) = (1-i) / 2 e ^ xe ^ (ix) = #

# = (1-i) / 2e ^ x (cos x + isinx) = 1 / 2e ^ x (cosx + sinx) + i1 / 2e ^ x (sinx-cosx) #

und schlussendlich

#int e ^ x cos x dx = 1 / 2e ^ x (cosx + sinx) + C #