Was ist das Orthozentrum eines Dreiecks mit Ecken bei (2, 6), (9, 1) und (5, 3) #?

Antworten:

Das Orthozentrum ist #(-10,-18)#

Erläuterung:

Das Orthozentrum eines Dreiecks ist der Schnittpunkt der 3 Höhen des Dreiecks.

Die Steigung des Liniensegments vom Punkt #(2,6)# zu #(9,1) # ist:

# m_1 = (1-6) / (9-2) #

# m_1 = -5 / 7 #

Die Steigung der Höhe, die durch dieses Liniensegment gezogen wird, ist lotrecht, dh die senkrechte Steigung ist:

# p_1 = -1 / m_1 #

# p_1 = -1 / (- 5/7) #

# p_1 = 7/5 #

Die Höhe muss durch Punkt gehen #(5,3)#

Wir können die Punkt-Steigungsform für die Gleichung einer Linie verwenden, um die Gleichung für die Höhe zu schreiben:

#y = 7/5 (x-5) + 3 #

Ein bisschen vereinfachen:

#y = 7 / 5x-4 "1" #

Die Steigung des Liniensegments vom Punkt #(2,6)# zu #(5,3) # ist:

# m_2 = (3-6) / (5-2) #

# m_2 = -3 / 3 #

# m_2 = -1 #

Die Steigung der Höhe, die durch dieses Liniensegment gezogen wird, ist lotrecht, dh die senkrechte Steigung ist:

# p_2 = -1 / m_2 #

# p_2 = -1 / (- 1) #

# p_2 = 1 #

Die Höhe muss durch Punkt gehen #(9,1)#

Wir können die Punkt-Steigungsform für die Gleichung einer Linie verwenden, um die Gleichung für die Höhe zu schreiben:

#y = 1 (x-9) + 1 #

Ein bisschen vereinfachen:

#y = x-8 "2" #

Wir könnten diesen Vorgang für die dritte Höhe wiederholen, aber wir haben bereits genügend Informationen, um den Schnittpunkt zu bestimmen.

Setze die rechte Seite von Gleichung 1 gleich der rechten Seite von Gleichung 2:

# 7 / 5x-4 = x-8 #

Löse nach der x-Koordinate der Kreuzung:

# 2 / 5x = -4 #

#x = -10 #

Um den Wert von y zu ermitteln, setzen Sie in Gleichung 2 -10 für x ein:

#y = -10 - 8 #

#y = -18 #

Das Orthozentrum ist #(-10,-18)#