Angenommen, es gibt bei einer Friedenskonferenz m Marsianer und Erdlinge. Um sicherzustellen, dass die Marsmenschen auf der Konferenz friedlich bleiben, müssen wir sicherstellen, dass keine zwei Marsmenschen zusammensitzen, so dass zwischen zwei Marsmenschen mindestens ein Erdenmensch liegt (siehe Detail).

Antworten:

ein) # (n! (n + 1)!) / ((n-m + 1)!) #

b) # (n! (n-1)!) / ((n-m)!) #

Erläuterung:

Neben einigen zusätzlichen Überlegungen werden wir drei übliche Techniken zum Zählen verwenden.

Zuerst werden wir die Tatsache nutzen, wenn es gibt # n # Möglichkeiten, eine Sache zu tun und # m # Es gibt Möglichkeiten, eine andere zu tun und dann anzunehmen, dass die Aufgaben unabhängig sind (was Sie für eine Aufgabe tun können, hängt nicht davon ab, was Sie in der anderen erledigt haben) # nm # Möglichkeiten, beides zu tun. Wenn ich zum Beispiel fünf Hemden und drei Hosen habe, dann gibt es das #3*5=15# Outfits kann ich machen.

Zweitens werden wir die Anzahl der Bestellmöglichkeiten nutzen # k # Objekte sind #k! #. Das ist weil es gibt # k # Möglichkeiten, das erste Objekt auszuwählen, und dann # k-1 # Möglichkeiten, die zweite zu wählen, und so weiter und so fort. Somit ist die Gesamtzahl der Möglichkeiten #k (k-1) (k-2) … (2) (1) = k! #

Schließlich werden wir die Anzahl der Wahlmöglichkeiten nutzen # k # Objekte aus einer Reihe von # n # Objekte sind # ((n), (k)) = (n!) / (k! (n-k)!) # (ausgesprochen als n wähle k). Eine Übersicht, wie Sie zu dieser Formel gelangen, finden Sie hier.

a) Wenn wir die Splits anfänglich ignorieren, gibt es #m! # Wege, um die Marsmenschen zu bestellen und #n! # Wege, die Erdlinge zu bestellen. Schließlich müssen wir sehen, wo sich die Marsmenschen befinden. Da jeder Marsmensch entweder an einem Ende oder zwischen zwei Erdlingen stehen muss, gibt es # n + 1 # Orte, an denen sie sitzen können (einer links von jedem Erdling und einer rechts davon). Da gibt es # m # Marsmenschen, das bedeutet, dass es gibt # ((n + 1), (m)) = ((n + 1)!) / (m! (n + 1-m)!) # Möglichkeiten, sie zu platzieren. Somit ergibt sich die Gesamtzahl der möglichen Sitzordnungen

#n! m! ((n + 1)!) / (m! (n + 1-m)!) = (n! (n + 1)!) / ((n-m + 1)!) #

b) Dieses Problem ähnelt dem obigen. Zur Vereinfachung wählen wir einen Erdling aus und nennen ihn den Präsidenten. Da es nicht wichtig ist, wie ein Kreis gedreht wird, werden wir, anstatt auf Sitzreihen basierend auf einer absoluten Reihenfolge Bezug zu nehmen, Sitzarrangements auf Grundlage ihrer Beziehung zum Präsidenten betrachten.

Wie oben beschrieben, können wir, wenn wir vom Präsidenten aus beginnen und im Uhrzeigersinn um den Kreis herumgehen, die Anzahl der Bestellmöglichkeiten für die verbleibenden Teilnehmer zählen. Da gibt es # m # Marsmenschen und # n-1 # übrige Erdlinge gibt es #m! # Wege, um die Marsmenschen zu bestellen und # (n-1)! # Möglichkeiten, die restlichen Erdlinge zu bestellen.

Als nächstes müssen wir die Marsmenschen erneut positionieren. Diesmal haben wir keinen zusätzlichen Platz am Ende, also gibt es nur einen # n # Orte, an denen sie sitzen können. Dann gibt es # ((n), (m)) = (n!) / (m! (n-m)!) # Möglichkeiten, sie zu platzieren. Somit ergibt sich die Gesamtzahl der möglichen Sitzordnungen

# (n-1)! m! (n!) / (m! (n-m)!) = (n! (n-1)!) / ((n-m)!) #