Wasser wird in eine zylindrische Schüssel mit einer Höhe von 10 Fuß und einem Radius von 3 Fuß mit einer Geschwindigkeit von 5 ft / min (3 ft / min) gegossen. Mit welcher Geschwindigkeit steigt der Wasserstand?

Antworten:

# = (5) / (9 pi) # ft / min

Erläuterung:

Für eine gegebene Höhe # h #von Flüssigkeit im Zylinder oder Radius # r #ist die Lautstärke

#V = pi r ^ 2 h #

Differenzierung der Zeit

#dot V = 2 pi r Punkt r h + pi r ^ 2 Punkt h # aber #dot r = 0 # so

#dot V = pi r ^ 2 Punkt h #

# Punkt h = Punkt V / (pi r ^ 2) #

# = (5) / (pi (3 ^ 2)) #

# = (5) / (9 pi) # ft / min

Wasser wird aus einem kegelförmigen Behälter mit einem Durchmesser von 10 Fuß und einer Tiefe von 10 Fuß mit einer konstanten Geschwindigkeit von 3 Fuß3 / min abgelassen. Wie schnell fällt der Wasserstand ab, wenn die Wassertiefe 6 Fuß beträgt?

Das Verhältnis des Radius r der oberen Wasseroberfläche zur Wassertiefe w ist eine Konstante, die von den Gesamtabmessungen des Kegels abhängt. R / w = 5/10 rarr r = w / 2 Das Volumen des Kegels von Wasser ergibt sich aus der Formel V (w, r) = pi / 3 r ^ 2w oder in Bezug auf gerade w für die gegebene Situation V (w) = pi / (12) w ^ 3 (dV) / (dw) = pi / 4w ^ 2 rarr (dw) / (dV) = 4 / (piw ^ 2) Wir erfahren, dass (dV) / (dt) = -3 (cu.ft./min.) (dw) / ( dt) = (dw) / (dV) * (dV) / (dt) = 4 / (piw ^ 2) * (- 3) = (- 12) / (piw ^ 2) Wenn w = 6 ist, ist die Wassertiefe Ändern mit einer Rate von (dw) / (dt)

Wasser tritt mit einer Geschwindigkeit von 10.000 cm3 / min aus einem umgekehrten konischen Tank aus, während Wasser mit einer konstanten Rate in den Tank gepumpt wird, wenn der Tank eine Höhe von 6 m hat und der Durchmesser an der Spitze 4 m beträgt Wenn der Wasserstand bei einer Höhe von 2 m um 20 cm / min ansteigt, wie finden Sie die Geschwindigkeit, mit der das Wasser in den Tank gepumpt wird?

Sei V das Volumen des Wassers in dem Tank in cm 3; h sei die Tiefe / Höhe des Wassers in cm; und sei r der Radius der Wasseroberfläche (oben) in cm. Da der Tank ein umgekehrter Kegel ist, ist dies auch die Wassermasse. Da der Tank eine Höhe von 6 m und einen Radius am oberen Rand von 2 m hat, implizieren ähnliche Dreiecke, dass frac {h} {r} = frac {6} {2} = 3 ist, so dass h = 3r ist. Das Volumen des umgekehrten Wasserkegels ist dann V = frac {1} {3} pi r ^ {2} h = pi r ^ {3}. Unterscheiden Sie nun beide Seiten bezüglich der Zeit t (in Minuten), um frac {dV} {dt} = 3 pi r ^ {2} cdot frac {dr} {dt} z

Der Wasserstand in einer halbkugelförmigen Schüssel mit einem Radius von 12 Zoll beträgt 4,6 Zoll. In welchem Winkel können Sie die Schüssel neigen, bevor das Wasser zu verschütten beginnt?

Sie können die Schüssel um 38,1 ° kippen, bevor das Wasser verschüttet wird. Auf dem Bild oben sehen Sie die Schüssel mit Wasser als Problem und eine hypothetische geneigte Schüssel, wobei das Wasser den Rand der Schüssel erreicht. Die beiden Halbkugelzentren liegen übereinander und die beiden Durchmesser bilden einen Winkel a. Der gleiche Winkel wird in dem rechten Dreieck gefunden, das gebildet wird mit: - dem Segment vom Zentrum der Halbkugel bis zum Zentrum der Wasseroberfläche (12-4,6 = 7,4 Zoll) - dem Segment vom Zentrum der Halbkugel bis zum Rand der Wasseroberfläche