Zeigen Sie, dass wenn p, q, r, s reelle Zahlen sind und pr = 2 (q + s), dann mindestens eine der Gleichungen x ^ 2 + px + q = 0 und x ^ 2 + rx + s = 0 gilt echte Wurzeln?

Antworten:

Siehe unten.

Die Diskriminante von # x ^ 2 + px + q = 0 # ist # Delta_1 = p ^ 2-4q #

und das von # x ^ 2 + rx + s = 0 # ist # Delta_2 = r ^ 2-4s #

und # Delta_1 + Delta_2 = p ^ 2-4q + r ^ 2-4s #

= # p ^ 2 + r ^ 2-4 (q + s) #

= # (p + r) ^ 2-2pr-4 (q + s) #

= # (p + r) ^ 2-2 pr-2 (q + s) #

und wenn # pr = 2 (q + s) #, wir haben # Delta_1 + Delta_2 = (p + r) ^ 2 #

Da die Summe der beiden Diskriminanten positiv ist, Mindestens einer von ihnen wäre positiv

und daher mindestens eine der Gleichungen # x ^ 2 + px + q = 0 # und # x ^ 2 + rx + s = 0 # hat echte Wurzeln.